Pertanyaan

Panjang suatu persegi panjang adlaah dua kali lebarnya. Jika diketahui ( 3 , 2 ) dan ( 3 , − 2 ) dua buah titik sudut persegi panjang itu, carilah persamaan lingkaran yang melalui semua titik sudut persegi panjang itu.

Panjang suatu persegi panjang adlaah dua kali lebarnya. Jika diketahui $(3, 2) dan (3, - 2)$ dua buah titik sudut persegi panjang itu, carilah persamaan lingkaran yang melalui semua titik sudut persegi panjang itu.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran tersebut adalah x 2 + y 2 + 2 x − 19 = 0 .

persamaan lingkaran tersebut adalah

x^{2} + y^{2} + 2 x - 19 = 0

Pembahasan

Ingat! Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat ( a , b ) dan berjari-jari r adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Misalkan jarak titik ( 3 , 2 ) dan ( 3 , − 2 ) merupakan lebar dari persegi panjang, yaitu lebar = y 2 − y 1 = 2 − ( − 2 ) = 4 , maka panjang persegi panjang adalah panjang = = = 2 × lebar 2 × 4 8 Perhatikan gambar berikut. Berdasarkan gambar tersebut, titik pusat lingkaran merupakan perpotongan diagonal persegi panjang, yaitu ( a , b ) = ( − 1 , 0 ) . Selanjutnya, jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan teorema pythagoras, r = = = = PC 2 + AC 2 4 2 + 2 2 16 + 4 20 Dengan mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari yang diperoleh ke persamaan umum lingkaran, maka ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − ( − 1 ) ) 2 + ( y − 0 ) 2 ( x + 1 ) 2 + y 2 x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 20 x 2 + y 2 + 2 x − 19 = = = = = r 2 20 2 20 0 0 Dengan demikian, persamaan lingkaran tersebut adalah x 2 + y 2 + 2 x − 19 = 0 .

Ingat!

Persamaan lingkaran yang melalui titik pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Misalkan jarak titik $(3, 2) dan (3, - 2)$ merupakan lebar dari persegi panjang, yaitu $lebar = y_{2} - y_{1} = 2 - (- 2) = 4$ , maka panjang persegi panjang adalah

$panjang = = = 2 \times lebar 2 \times 4 8$

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, titik pusat lingkaran merupakan perpotongan diagonal persegi panjang, yaitu $(a, b) = (- 1, 0)$ . Selanjutnya, jari-jari lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan teorema pythagoras,

$r = = = = PC^{2} + AC^{2} 4^{2} + 2^{2} 16 + 4 20$

Dengan mensubstitusikan titik pusat dan jari-jari yang diperoleh ke persamaan umum lingkaran, maka

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - (- 1))^{2} + (y - 0)^{2} (x + 1)^{2} + y^{2} x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 20 x^{2} + y^{2} + 2 x - 19 = = = = = r^{2} 20^{2} 2000$