Roboguru

Nyatakan setiap bentuk berikut ini sebagai bentuk perkalian. b. sinα+sin2α+sin3α

Pertanyaan

Nyatakan setiap bentuk berikut ini sebagai bentuk perkalian.

b. sinα+sin2α+sin3α

 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

sinA+sinB=2sin21(A+B)cos21(AB)

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh hasil:

sinα+sin2α+sin3α=(sin3α+sinα)+sin2α=(2sin21(3α+α)cos21(3αα))+sin2α=(2sin21(4α)cos21(2α))+sin2α=(2sin2αcosα)+sin2α=sin2α(2cosα+1)

Jadi, sinα+sin2α+sin3α=sin2α(2cosα+1) .

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

a. Buktikanlah:   (Petunjuk: Ruas kiri kalikan dengan )

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

  • 2 sin space straight A space cos space straight B equals sin left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis plus sin left parenthesis straight A minus straight B right parenthesis 
  • sin space left parenthesis 90 degree minus x right parenthesis equals cos space x 

Pembuktian dari ruas kiri:

sin space 54 degree minus sin space 18 degree equals open parentheses sin space 54 degree minus sin space 18 degree close parentheses open parentheses fraction numerator 2 space cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction close parentheses equals fraction numerator 2 sin space 54 degree space cos space 18 degree minus 2 sin space 18 degree space cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree space plus sin space 36 degree minus open parentheses sin space 36 degree plus sin space 0 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree space plus sin space 36 degree minus open parentheses sin space 36 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space 72 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator sin space open parentheses 90 degree minus 18 degree close parentheses over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals fraction numerator cos space 18 degree over denominator 2 space cos space 18 degree end fraction equals 1 half 

Jadi, Terbukti bahwa sin space 54 degree minus sin space 18 degree equals 1 half.

0

Roboguru

Pada segitiga ABC lancip diketahui  dan , maka

Pembahasan Soal:

Diketahui:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space B end cell equals cell 12 over 13 end cell row cell cos space A end cell equals cell 4 over 5 end cell end table

Karena segitiga ABC lancip maka besar ketiga sudutnya angle 90 degree (kuadran I) sehingga nilai fungsi trigonometrinya selalu positif. Selanjutnya dapat ditentukan cos space B space dan space sin space italic A dengan identitas trigonometri sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row 1 equals cell sin squared space B plus cos squared space B end cell row cell cos italic space B end cell equals cell square root of 1 minus sign sin squared space B end root end cell row blank equals cell square root of 1 minus sign begin italic style left parenthesis 12 over 13 right parenthesis end style squared end root end cell row blank equals cell square root of 1 minus sign 144 over 169 end root end cell row blank equals cell square root of fraction numerator 169 minus sign 144 over denominator 169 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 25 over 169 end root end cell row blank equals cell 5 over 13 end cell row blank blank blank row 1 equals cell sin squared space italic A plus cos squared space italic A end cell row cell sin italic space italic A end cell equals cell square root of 1 minus sign cos squared space italic A end root end cell row blank equals cell square root of 1 minus sign begin italic style left parenthesis 4 over 5 right parenthesis end style squared end root end cell row blank equals cell square root of 1 minus sign 16 over 25 end root end cell row blank equals cell square root of fraction numerator 25 minus sign 16 over denominator 25 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 9 over 25 end root end cell row blank equals cell 3 over 5 end cell end table  

Karena jumlah besar sudut dalam suatu segitiga adalah 180 degree maka C equals 180 degree minus sign open parentheses italic A and B close parentheses. Sehingga dapat ditentukan nilai dari sin space C sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space C end cell equals cell sin space open parentheses 180 degree minus sign open parentheses italic A and B close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell sin space 180 degree middle dot cos space left parenthesis italic A and B right parenthesis minus sign sin space left parenthesis italic A and B right parenthesis middle dot cos space 180 degree end cell row blank equals cell 0 middle dot cos space left parenthesis italic A and B right parenthesis minus sign sin space left parenthesis italic A and B right parenthesis middle dot open parentheses negative sign 1 close parentheses end cell row blank equals cell sin space left parenthesis italic A and B right parenthesis end cell row blank equals cell sin space italic A middle dot cos space B and sin space B middle dot cos space italic A end cell row blank equals cell 3 over 5 middle dot 5 over 13 plus 12 over 13 middle dot 4 over 5 end cell row blank equals cell fraction numerator 15 plus 48 over denominator 65 end fraction end cell row blank equals cell 63 over 65 end cell end table  

Dengan demikian nilai dari sin space C equals 63 over 65.

2

Roboguru

20. Buktikan identitas berikut. a.

Pembahasan Soal:

Ingat rumus identitas penjumlahan sinus berikut:

sin space x plus sin space y equals 2 space sin space 1 half open parentheses x plus y close parentheses space cos space 1 half open parentheses x minus y close parentheses 

Dari soal diketahui:

x = 6x 

y = 4x 

Sehingga persamaan trigonometri tersebut menjadi:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 6 x plus sin space 4 x end cell equals cell 2 space sin space 1 half open parentheses 6 x plus 4 x close parentheses space cos space 1 half open parentheses 6 x minus 4 x close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 1 half open parentheses 10 x close parentheses space cos space 1 half open parentheses 2 x close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 5 x space cos space x times fraction numerator sin space x over denominator sin space x end fraction end cell row blank equals cell 2 space sin space 5 x space sin space x times fraction numerator cos space x over denominator sin space x end fraction end cell row blank equals cell open parentheses bold 2 bold space bold italic s bold italic i bold italic n bold space bold 5 bold italic x bold space bold italic s bold italic i bold italic n bold space bold italic x close parentheses space cot space x end cell end table 

Ingat rumus perkalian sinus yaitu:

negative 2 space sin space alpha space sin space beta equals cos open parentheses alpha plus beta close parentheses minus space cos open parentheses alpha minus beta close parentheses

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 6 x plus sin space 4 x end cell equals cell open parentheses 2 space sin space 5 x space sin space x close parentheses space cot space x end cell row blank equals cell open curly brackets negative open parentheses cos space open parentheses 5 x plus x close parentheses minus space cos space open parentheses 5 x minus x close parentheses close parentheses close curly brackets space cot space x end cell row blank equals cell open parentheses negative open parentheses cos space 6 x minus cos space 4 x close parentheses close parentheses space cot space x end cell row blank equals cell cot space x open parentheses cos space 4 x minus cos space 6 x close parentheses end cell end table  

Dengan demikian,

terbukti bahwa sin space 6 x plus sin space 4 x equals cot space x open parentheses cos space 4 x minus cos space 6 x close parentheses.

0

Roboguru

22. Buktikan bahwa: a.

Pembahasan Soal:

Ingat rumus identitas penjumlahan sinus dan cosinus berikut:

  • sin space x plus sin space y equals 2 space sin space 1 half open parentheses x plus y close parentheses space cos space 1 half open parentheses x minus y close parentheses 
  • cos space x plus cos space y equals 2 space cos space 1 half open parentheses x plus y close parentheses space cos space 1 half open parentheses x minus y close parentheses 

Sehingga diperoleh:

begin mathsize 12px style sin space 7 theta plus sin space 5 theta plus sin space 3 theta plus sin space theta equals open parentheses sin space 7 theta plus sin space theta close parentheses plus open parentheses sin space 5 theta plus sin space 3 theta close parentheses equals open parentheses 2 space sin space 1 half open parentheses 7 theta plus theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 7 theta minus theta close parentheses close parentheses plus open parentheses 2 space sin space 1 half open parentheses 5 theta plus 3 theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 5 theta minus 3 theta close parentheses close parentheses equals open parentheses 2 space sin space 1 half open parentheses 8 theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 6 theta close parentheses close parentheses plus open parentheses 2 space sin space 1 half open parentheses 8 theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 2 theta close parentheses close parentheses equals 2 space sin space 4 theta space cos space 3 theta plus 2 space sin space 4 theta space cos space theta equals 2 space sin space 4 theta open parentheses cos space 3 theta plus cos space theta close parentheses equals 2 space sin space 4 theta open parentheses 2 space cos space 1 half open parentheses 3 theta plus theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 3 theta minus theta close parentheses close parentheses equals 2 space sin space 4 theta open parentheses 2 space cos space 1 half open parentheses 4 theta close parentheses space cos space 1 half open parentheses 2 theta close parentheses close parentheses equals 2 space sin space 4 theta open parentheses 2 space cos space 2 theta space cos space theta close parentheses equals 4 space cos space theta space cos space 2 theta space sin space 4 theta end style 

Dengan demikian, terbukti bahwa:

sin space 7 theta plus sin space 5 theta plus sin space 3 theta plus sin space theta equals 4 space cos space theta space cos space 2 theta space sin space 4 theta

0

Roboguru

Nilai dari

Pembahasan Soal:

Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sinus dan penjumlahan dua cosinus diperoleh 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator sin space 225 degree plus sin space 15 degree over denominator c o s space 225 degree plus cos space 15 degree end fraction end cell equals cell fraction numerator 2 times sin begin display style 1 half end style left parenthesis 225 degree plus 15 degree right parenthesis times cos begin display style 1 half end style left parenthesis 225 degree minus 15 degree right parenthesis over denominator 2 times cos space begin display style 1 half end style left parenthesis 225 degree plus 15 degree right parenthesis times cos space begin display style 1 half end style left parenthesis 225 degree minus 15 degree right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times sin space 120 degree times cos space 105 degree over denominator 2 times cos space 120 degree times cos space 105 degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times sin space 120 degree over denominator 2 times cos space 120 degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times begin display style 1 half end style square root of 3 over denominator 2 times left parenthesis negative begin display style 1 half end style right parenthesis end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 3 over denominator negative 1 end fraction end cell row blank equals cell negative square root of 3 end cell end table end style  

Jadi begin mathsize 14px style fraction numerator sin space 225 degree plus sin space 15 degree over denominator cos space 225 degree plus cos space 15 degree end fraction equals negative square root of 3 end style 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved