Roboguru

Nilai maksimum fungsi  yang memenuhi dari sistem pertidaksamaan , adalah ...

Pertanyaan

Nilai maksimum fungsi f open parentheses x comma y close parentheses equals 6 x plus 8 y yang memenuhi dari sistem pertidaksamaan 4 x plus 2 y less or equal than 60 semicolon 2 x plus 4 y less or equal than 48 semicolon x greater or equal than 0 semicolon y greater or equal than 0, adalah ...

  1. 120  

  2. 118  

  3. 116  

  4. 114  

  5. 112 

Pembahasan Soal:

Fungsi kendala 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 x plus 2 y end cell less or equal than 60 row cell 2 x plus 4 y end cell less or equal than 48 row x greater or equal than 0 row y greater or equal than 0 end table 

Fungsi obyektif 

f open parentheses x comma y close parentheses equals 6 x plus 8 y

Titik potong garis table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 4 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank y end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank less or equal than blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 60 end table, terahadap sumbu xdan y 

x 0 15
y 30 0

Titik potong garis table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 4 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank y end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank less or equal than blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 48 end table terahadap sumbu xdan y 

x 0 24
y 12 0

Grafik Daerah himpunan penyeesaian

 

Titik potong kedua garis tersebut dapat ditentukan dengan metode eliminasi-subtitusi berikut.

table row cell 4 x end cell plus cell 2 y end cell equals 60 row cell 2 x end cell plus cell 4 y end cell equals 48 row blank blank blank blank blank row blank blank blank blank blank row blank blank blank blank blank end table open vertical bar table row cell cross times 2 end cell row cell cross times 1 end cell row blank row blank row blank end table close vertical bar table row cell 8 x end cell plus cell 4 y end cell equals 120 blank row cell 2 x end cell plus cell 4 y end cell equals 48 minus row cell 6 x end cell blank blank equals 72 blank row blank blank x equals cell 72 over 6 end cell blank row blank blank x equals 12 blank end table

x equals 12 disubtitusikan ke table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank plus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 4 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank y end table equals table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 48 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses 12 close parentheses plus 4 y end cell equals 48 row cell 24 plus 4 y end cell equals 48 row cell 4 y end cell equals cell 48 minus 24 end cell row y equals cell 24 over 4 end cell row y equals 6 end table 

Jadi titik potongnya open parentheses 12 comma 6 close parentheses

Untuk menentukan nilai maksimum akan menggunakan metode titik pojok pada daerah penyelesaian sebagai berikut

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell 6 x plus 8 y end cell row cell f open parentheses 0 comma 12 close parentheses end cell equals cell 6 open parentheses 0 close parentheses plus 8 open parentheses 12 close parentheses equals 96 end cell row cell f open parentheses 15 comma 0 close parentheses end cell equals cell 6 open parentheses 15 close parentheses plus 8 open parentheses 0 close parentheses equals 90 end cell row cell f open parentheses 12 comma 6 close parentheses end cell equals cell 6 open parentheses 12 close parentheses plus 8 open parentheses 6 close parentheses equals 72 plus 48 equals 120 space open parentheses Maksimum close parentheses end cell end table 

Jadi, jawaban yang tepat adalah A

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Roy

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 30 April 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 , sedangkan tipe B luasnya 75 . Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 12...

Pembahasan Soal:

Tip!

  • Tentukan model matematika terlebih dahulu.
  • Tentukan persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) dengan menggunakan persamaan bx + ay = ab.
  • Tentukan titik potong kedua garis.
  • Tentukan nilai-nilai dari fungsi sasaranjfungsi objektif dengan menyubstitusikan titik-titik sudut
    perpotongan, nilai terbesar = nilai maksimum fungsi sasaran.

Ingat!

1 hektar = 10.000 begin mathsize 12px style straight m squared end style

Misal:

  • banyak rumah tipe A = x
  • banyak rumah tipe B = y

Model matematikanya:

100x + 75ybegin mathsize 12px style less or equal than end style10.000

4x + 3ybegin mathsize 12px style less or equal than end style400    ... (i)

x + ybegin mathsize 12px style less or equal than end style125   ...(ii)

xbegin mathsize 12px style greater or equal than end style0, ybegin mathsize 12px style greater or equal than end style0   ...(iii)

f(x, y) = 100.000.000x + 60.000.000y   ...(iv)

Dari persamaan (i), (ii), dan (iii) dapat dibuat grafik sebagai berikut.

Titik B dapat ditentukan sebagai berikut.

begin mathsize 12px style x plus y equals 125 space space space space space space vertical line cross times 4 vertical line  4 x plus 3 y equals 400 space space vertical line cross times 1 vertical line    4 x plus 4 y equals 500  bottom enclose 4 x plus 3 y equals 400 end enclose space minus  y equals 100 end style

sehingga,
x + y = 125
x + 100 = 125
x = 25
Jadi, titik potong kedua garis (25, 100).
Nilai fungsi sasaran (persamaan iv) pada masing-masing titik sudut sebagai berikut.

Penjualan seluruh rumah maksirnum adalah sebesar Rp 12.500.000.000 yang diperoleh jika dibangun rumah tipe A sebanyak 125 buah.

4

Roboguru

Pembahasan Soal:

left parenthesis 1 right parenthesis space space straight x plus 3 straight y equals 9 space  Jika space straight x equals space 0 space space maka space straight y space equals space 3 space space titiknya space didapat space left parenthesis 0 comma 3 right parenthesis space  Jika space straight y equals space 0 space maka space straight x equals space 9 space space titiknya space didapat space left parenthesis 9 comma 0 right parenthesis space    left parenthesis 2 right parenthesis space space 2 straight x plus straight y equals 8 space  Jika space straight x equals space 0 space maka space straight y space equals space 8 space space titiknya space didapat space left parenthesis 0 comma 8 right parenthesis space  Jika space straight y equals space 0 space maka space straight x equals space 4 space space titiknya space didapat space left parenthesis 4 comma 0 right parenthesis space    left parenthesis 3 right parenthesis space space straight x comma straight y space greater or equal than 0 space space Daerah space himpunan space penyelesaiannya space di space kuadran space straight I

Maka space terdapat space 3 space titik space colon  1 right parenthesis thin space Titik space left parenthesis 0 comma 3 right parenthesis  2 right parenthesis thin space Titik space left parenthesis 4 comma 0 right parenthesis  3 right parenthesis thin space Dengan space menggunakan space sistem space eliminasi space space  x plus 3 y equals 9 space space vertical line cross times 2 vertical line space 2 x plus 6 y equals 18 space space space space space  bottom enclose 2 x plus y equals 8 space space vertical line cross times 1 vertical line space 2 x plus space space y equals 8 space space space space minus end enclose  space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 5 y equals 10  space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space y equals 2 space space space space    Substitusi space nilai space straight y space pada space persamaan space left parenthesis 1 right parenthesis space space space space space space space space  x plus 3 left parenthesis 2 right parenthesis equals 9 space space space space space  x equals 3 space space space space space space  Jadi space titik space ketiga space diperoleh space left parenthesis 3 comma 2 right parenthesis space

Cek space setiap space titik space pojok space ke space straight f left parenthesis straight x comma straight y right parenthesis equals 2 straight x plus 3 straight y space  straight f left parenthesis 0 comma 3 right parenthesis equals 0 plus 3 left parenthesis 3 right parenthesis equals 9 space space space  straight f left parenthesis 4 comma 0 right parenthesis equals 2 left parenthesis 4 right parenthesis plus 0 equals 8 space  straight f left parenthesis 3 comma 2 right parenthesis equals 2 left parenthesis 3 right parenthesis plus 3 left parenthesis 2 right parenthesis equals 12 space    Jadi space nilai space maksimumnya space adalah space 12

0

Roboguru

Diketahui sistem pertidaksamaan x + 3y ≤ 6, 2x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0. Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y) = 4x - 3y adalah ....

Pembahasan Soal:

Pertama, kita gambarkan dulu sistem pertidaksamaan di atas.

   

Dari gambar, diperoleh titik pojok (0,2) dan (2,0).

Satu titik pojok lagi adalah titik potong antara garis x + 3y = 6 dan 2x + y = 4.

Perhatikan bahwa x + 3y = 6 → x = 6 - 3y.

Maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus y end cell equals 4 row cell 2 open parentheses 6 minus 3 y close parentheses plus y end cell equals 4 row cell 12 minus 6 y plus y end cell equals 4 row cell negative 5 y end cell equals cell negative 8 end cell row y equals cell 8 over 5 end cell end table end style 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 6 minus 3 y end cell row x equals cell 6 minus 3 open parentheses 8 over 5 close parentheses end cell row x equals cell 6 minus 24 over 5 end cell row x equals cell 30 over 5 minus 24 over 5 end cell row x equals cell 6 over 5 end cell end table end style 

Dari garis x + 3y = 6 dan 2x + y = 4 kita peroleh titik potong begin mathsize 14px style open parentheses 6 over 5 comma 8 over 5 close parentheses end style

Kita subtitusikan tiap titik (0,2), (2,0), begin mathsize 14px style open parentheses 6 over 5 comma 8 over 5 close parentheses end style ke fungsi objektif f(x,y) = 4x - 3y.

(0,2) → f(0,2) = 4(0) - 3(2) = 0 - 6 = -6
(2,0) → f(2,0) = 4(2) - 3(0) = 8 - 0 = 8

begin mathsize 14px style open parentheses 6 over 5 comma 8 over 5 close parentheses rightwards arrow f open parentheses 6 over 5 comma 8 over 5 close parentheses equals 4 open parentheses 6 over 5 close parentheses minus 3 open parentheses 8 over 5 close parentheses equals 24 over 5 minus 24 over 5 equals 0 end style 

Maka, nilai maksimumnya adalah 8.

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

0

Roboguru

Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 6x+5y yang memenuhi sistem pertidaksamaan : adalah ....

Pembahasan Soal:

Dari sistem pertidaksamaan tersebut didapat daerah penyelesaian

titik B yang merupakan titik potong antara 2x+y=8 dan 2x+3y=12 dapat diketahui dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut

2 x plus y equals 8  2 x plus 3 y equals 12 space space minus  minus negative negative negative negative negative  space space space space space space minus 2 y equals negative 4  space space space space space space space space space space space space y equals 2

Substitusi y=2 ke persamaan pertama, didapat

2 x plus y equals 8 rightwards arrow 2 x plus 2 equals 8 rightwards arrow 2 x equals 6 rightwards arrow x equals 3

Jadi B (3,2)

Masukkan kandidat titik ekstrim kedalam fungsi objektif f(x,y) = 6x+5y

f left parenthesis 0 comma 6 right parenthesis equals 6 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 8 right parenthesis equals 40  f left parenthesis 3 comma 2 right parenthesis equals 6 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 2 right parenthesis equals 28 rightwards arrow m i n i m u m  f left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis equals 6 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 36

 

0

Roboguru

Pada sistem pertidaksamaan , , dan  berlaku , nilai  terbesar adalah ...

Pembahasan Soal:

Untuk menentukan nilai optimum dengan metode titik pojok, gunakan langkah-langkah berikut.

1. Buatlah gambar persamaan garisnya dengan menghubungkan titik-titik open parentheses x comma space 0 close parentheses dan open parentheses y comma space 0 close parentheses

2. Tentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP) dengan uji titik.

3. Tentukan titik pojok dari DHP.

4. Substitusi titik pojok ke fungsi tujuan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum.

Gambar DHP sistem pertidaksamaan pada soal dapat ditentukan sebagai berikut.

Menentukan titik potong dari setiap persamaan.

Gambar DHP dengan uji titik.

Titik potong garis x minus y equals 0 dan x plus y equals 4 dapat ditentukan sebagai berikut.

table row cell x minus y end cell equals cell 0 space space space space end cell row cell x plus y end cell equals cell 4 space plus end cell row cell 2 x end cell equals 4 row x equals 2 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus y end cell equals 0 row y equals x row y equals 2 end table 

Diperoleh titik potong open parentheses 2 comma space 2 close parentheses 

Titik potong garis x minus y equals 0 dan negative 5 y plus x equals negative 20 dapat ditentukan sebagai berikut.

table row cell x minus y end cell equals cell 0 space space space space end cell row cell x minus 5 y end cell equals cell negative 20 space minus end cell row cell 4 y end cell equals 20 row y equals 5 end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus y end cell equals 0 row x equals y row x equals 5 end table

Kedua garis berpotongan di titik open parentheses 5 comma space 5 close parentheses

Penentuan nilai minimum dengan uji titik pojok

Fungsi 2 x plus 3 y mempunyai nilai minimum 10 atau 2 x plus 3 y greater or equal than 10 

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved