Pertanyaan

Lukislah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear-kuadrat berikut. { x + 3 y ≥ 3 y ≤ − x 2 + 2 x + 2

Lukislah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear-kuadrat berikut.

${x + 3 y \geq 3 y \leq - x^{2} + 2 x + 2$

R. Hajrianti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Jawaban terverifikasi

Jawaban

gambar grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan seperti pada gambar di atas.

gambar grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 3 y greater or equal than 3 end cell row cell y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 end cell end table close

open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 3 y greater or equal than 3 end cell row cell y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 end cell end table close

seperti pada gambar di atas.

Pembahasan

Diketahui sistem pertidaksamaan . Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut dapat ditentukan dengan menentukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan tersebut sebagai berikut. Daerah penyelesaian pertidaksamaan Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan adalah dengan melukis garis pembatas . Titik potong garis terhadap sumbu dan sumbu sebagai berikut. Titik potong sumbu Titik potong garis pada sumbu adalah . Titik potong sumbu Titik potong garis pada sumbu adalah . Dengan menggunakan titik potong di atas, dapat dilukis garis lurus dengan menghubungkan kedua titik tersebut. Garis dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya lebih dari sama dengan. Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di atas atau dibawah garis . Misal, pilih titik di bawah garis , maka diperoleh: Titik tidak memenuhi pertidaksamaan , maka daerah penyelesaian dari , berada di atasgaris . Daerah penyelesaian pertidaksamaan Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan adalah dengan melukis kurva pembatas . Kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah (koefisien negatif) dengan titik-titik sebagai berikut. Titik balik Selain dengan menggunakan rumus di atas, nilai dapat ditentukan dengan mensubstitusikan pada persamaan .Titik balikkurva adalah . Titik potong sumbu dan sumbu Titik potong kurva pada sumbu (saat ) sebagai berikut. atau Titik potong kurva pada sumbu adalah dan . Titik potong kurva pada sumbu (saat ) sebagai berikut. Titik potong kurva pada sumbu adalah . Berdasarkantitik balikdan titik potong di atas, dapat dilukis kurva dengan menghubungkan titik-titik tersebut. Kurva dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya kurangdari sama dengan. Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di dalam atau diluar kurva . Misal, pilih titik di dalam kurva , maka diperoleh: Titik memenuhi pertidaksamaan , maka daerah penyelesaian dari , berada di dalam kurva . Kemudian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan daerah penyelesaian pertidaksamaan dan . Gambar grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut sebagai berikut. Dengan demikian, gambar grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan seperti pada gambar di atas.

Diketahui sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 3 y greater or equal than 3 end cell row cell y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 end cell end table close .

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut dapat ditentukan dengan menentukan daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan x plus 3 y greater or equal than 3 adalah dengan melukis garis pembatas x plus 3 y equals 3 . Titik potong garis terhadap sumbu dan sumbu sebagai berikut.

Titik potong sumbu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 3 y end cell equals 3 row cell x plus 3 open parentheses 0 close parentheses end cell equals 3 row x equals cell 3 minus 0 end cell row blank equals 3 end table

Titik potong garis x plus 3 y equals 3 pada sumbu adalah open parentheses 3 comma 0 close parentheses .

Titik potong sumbu

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 3 y end cell equals 3 row cell 0 plus 3 y end cell equals 3 row cell 3 y end cell equals 3 row y equals cell 3 over 3 end cell row y equals 1 end table

Titik potong garis x plus 3 y equals 3 pada sumbu adalah open parentheses 0 comma 1 close parentheses .

Dengan menggunakan titik potong di atas, dapat dilukis garis lurus x plus 3 y equals 3 dengan menghubungkan kedua titik tersebut. Garis dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya lebih dari sama dengan.

Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan x plus 3 y greater or equal than 3 , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di atas atau dibawah garis x plus 3 y equals 3 . Misal, pilih titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses di bawah garis , maka diperoleh:

x plus 3 y greater or equal than 3 rightwards double arrow 0 plus 3 open parentheses 0 close parentheses equals 0 greater or equal than 3 space left parenthesis Salah right parenthesis

Titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses tidak memenuhi pertidaksamaan x plus 3 y greater or equal than 3 , maka daerah penyelesaian dari , berada di atas garis x plus 3 y equals 3 .

Daerah penyelesaian pertidaksamaan

Langkah pertama untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 adalah dengan melukis kurva pembatas y equals negative x squared plus 2 x plus 2 . Kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah (koefisien negatif) dengan titik-titik sebagai berikut.

Titik balik

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator 2 over denominator 2 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell 2 over 2 end cell row blank equals 1 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative fraction numerator D over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses b squared minus 4 a c close parentheses over denominator 4 a end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses 2 squared minus 4 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses open parentheses 2 close parentheses close parentheses over denominator 4 open parentheses begin display style negative 1 end style close parentheses end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator open parentheses 4 plus 8 close parentheses over denominator begin display style negative 4 end style end fraction end cell row blank equals cell 12 over 4 end cell row blank equals 3 end table$

Selain dengan menggunakan rumus di atas, nilai dapat ditentukan dengan mensubstitusikan x equals 1 pada persamaan y equals negative x squared plus 2 x plus 2 . Titik balik kurva adalah open parentheses 1 comma space 3 close parentheses .

Titik potong sumbu dan sumbu

Titik potong kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 pada sumbu (saat y equals 0 ) sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative x squared plus 2 x plus 2 end cell row cell negative x squared plus 2 x plus 2 end cell equals y row cell negative x squared plus 2 x plus 2 end cell equals 0 end table

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x subscript 1 comma 2 end subscript end cell equals cell fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 2 squared minus 4 times open parentheses negative 1 close parentheses times 2 end root over denominator 2 open parentheses negative 1 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 4 plus 8 end root over denominator negative 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 12 over denominator negative 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator negative 2 plus-or-minus 2 square root of 3 over denominator negative 2 end fraction end cell end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell fraction numerator negative 2 plus 2 square root of 3 over denominator negative 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 minus square root of 3 end cell end table$ atau $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell fraction numerator negative 2 minus 2 square root of 3 over denominator negative 2 end fraction end cell row blank equals cell 1 plus square root of 3 end cell end table$

Titik potong kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 pada sumbu adalah open parentheses 1 minus square root of 3 comma 0 close parentheses dan open parentheses 1 plus square root of 3 comma 0 close parentheses .

Titik potong kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 pada sumbu (saat x equals 0 ) sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell negative x squared plus 2 x plus 2 end cell row blank equals cell negative 0 squared plus 2 open parentheses 0 close parentheses plus 2 end cell row blank equals cell 0 plus 0 plus 2 end cell row blank equals 2 end table

Titik potong kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 pada sumbu adalah open parentheses 0 comma 2 close parentheses .

Berdasarkan titik balik dan titik potong di atas, dapat dilukis kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 dengan menghubungkan titik-titik tersebut. Kurva dilukis dengan garis penuh karena tanda pertidaksamaannya kurang dari sama dengan.

Selanjutnya adalah menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian pertidaksamaan y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 , dapat ditentukan dengan melakukan uji titik di dalam atau diluar kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 . Misal, pilih titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses di dalam kurva , maka diperoleh:

y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 rightwards double arrow 0 less or equal than negative 0 squared plus 2 open parentheses 0 close parentheses plus 2 equals 2 space left parenthesis Benar right parenthesis

Titik open parentheses 0 comma 0 close parentheses memenuhi pertidaksamaan y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 , maka daerah penyelesaian dari , berada di dalam kurva y equals negative x squared plus 2 x plus 2 .

Kemudian, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 3 y greater or equal than 3 end cell row cell y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 end cell end table close adalah irisan daerah penyelesaian pertidaksamaan dan . Gambar grafik daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut sebagai berikut.

Dengan demikian, gambar grafik penyelesaian sistem pertidaksamaan open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 3 y greater or equal than 3 end cell row cell y less or equal than negative x squared plus 2 x plus 2 end cell end table close seperti pada gambar di atas.