Pertanyaan

Jika untuk setiap bilangan asli n, L n merupakan luas dataran yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola yang melalui titik ( 0 , 4 1 − n ) , ( − 2 1 − n , 0 ) , dan ( 2 1 − n , 0 ) , maka n − 1 ∑ x L n = ...

Jika untuk setiap bilangan asli n, $L_{n}$ merupakan luas dataran yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola yang melalui titik $(0, 4^{1 - n})$ , $(- 2^{1 - n}, 0)$ , dan $(2^{1 - n}, 0)$ , maka $n - 1 \sum x L_{n}$ = ...

A. Rizky

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Substitusikan nilai n k e 3 titik yang diketahui, yaitu: , , dan Untuk n = 1 Diperoleh titik (0, 1), (-1, 0), dan (1, 0) Parabola yang memotong sumbu x di dua titik adalah Maka parabolanya adalah: Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x: Untuk n = 2 Diperoleh titik: Parabola yang memotong sumbu x di dua titik adalah Maka parabolanya adalah: Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x: Dan seterusnya, sehingga membentuk deret geometri tak hingga: dengan Maka,

Substitusikan nilai n ke 3 titik yang diketahui, yaitu:

, , dan

Untuk n = 1

Diperoleh titik (0, 1), (-1, 0), dan (1, 0)

Parabola yang memotong sumbu x di dua titik adalah

begin mathsize 12px style y equals a open parentheses x minus x subscript 1 close parentheses open parentheses x minus x subscript 2 close parentheses 1 equals a open parentheses 0 plus 1 close parentheses open parentheses 0 minus 1 close parentheses a equals negative 1 end style

Maka parabolanya adalah:

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola

dan sumbu x:

$begin mathsize 12px style L equals fraction numerator D square root of D over denominator 6 a squared end fraction equals fraction numerator 4.2 over denominator 6.1 end fraction equals 4 over 3 end style$

Untuk n = 2

Diperoleh titik:

Parabola yang memotong sumbu x di dua titik adalah

begin mathsize 12px style y equals a open parentheses x minus x subscript 1 close parentheses open parentheses x minus x subscript 2 close parentheses 1 fourth equals a open parentheses 0 plus 1 half close parentheses open parentheses 0 minus 1 half close parentheses a equals negative 1 end style

Maka parabolanya adalah:

begin mathsize 12px style y equals negative open parentheses x plus 1 half close parentheses open parentheses x minus 1 half close parentheses y equals negative x squared plus 1 fourth D equals b squared minus 4 a c equals 0 minus 4 open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses 1 fourth close parentheses equals 1 end style

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola

dan sumbu x:

$begin mathsize 12px style L equals fraction numerator D square root of D over denominator 6 a squared end fraction equals fraction numerator 1.1 over denominator 6.1 end fraction equals 1 over 6 end style$

Dan seterusnya, sehingga membentuk deret geometri tak hingga:

dengan

Maka,

$begin mathsize 12px style sum from n equals 1 to x of L subscript n equals S infinity sum from n equals 1 to x of L subscript n equals fraction numerator a over denominator 1 minus r end fraction sum from n equals 1 to x of L subscript n equals fraction numerator begin display style 4 over 3 end style over denominator 1 minus begin display style 1 over 8 end style end fraction sum from n equals 1 to x of L subscript n equals fraction numerator begin display style 4 end style over denominator begin display style 3 end style end fraction times fraction numerator begin display style 8 end style over denominator 7 end fraction equals 32 over 21 end style$