Roboguru

Jika 23​cosx+11sinx sama dengan kcos(x−α) maka nilai k=…

Pertanyaan

Jika square root of 23 space cos space x plus 11 space sin space x sama dengan k space cos space open parentheses x minus alpha close parentheses maka nilai k equals horizontal ellipsis 

  1. 10 

  2. 12 

  3. 13 

  4. 14 

  5. 15 

Pembahasan Soal:

Ingat kembali bahwa:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a space cos space x plus b space sin space x end cell equals cell k space cos space open parentheses x minus alpha close parentheses end cell row k equals cell square root of a squared plus b squared end root end cell end table

Diketahui:

  • square root of 23 space cos space x plus 11 space sin space x
  • a equals square root of 23 space text dan  end text b equals 11

Ditanya:

  • Nilai k space ? 

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus, maka nilai k adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row k equals cell square root of a squared plus b squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses square root of 23 close parentheses squared plus 11 squared end root end cell row blank equals cell square root of 23 plus 121 end root end cell row blank equals cell square root of 144 end cell row k equals 12 end table

Jadi, nilai k pada soal tersebut adalah 12. 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

L. Sibuea

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

4. Perhatikan gambar berikut. Jika θ berada pada interval terbuka (0∘,90∘) tentukan: a. nilai R dan α yang memenuhi AB=Rsin(θ−α), b. nilai θ untuk AB=3cm.

Pembahasan Soal:

Ingat!

  • AsinθBcosθ=Rsin(θα) dengan R=A2+B2 dan tanα=AB
  • pada segitiga siku-siku seperti pada gambar begitu:

 

diperoleh hubungan sinα=ca dan cosα=cb.

Oleh karena itu:

a) Untuk mencari nilai R dan α yang memenuhi AB=Rsin(θα):

  • Perhatikan OAQ. Dapat diperoleh: 

cosθOA==5OA5cosθ

  • Perhatikan OBQ. Dapat diperoleh: 

sinθOB==12OB12sinθ

  • Perhatikan pada segitiga bahwa AB=OBOA, sehingga dengan menyubtitusikan informasi yang diperoleh di atas, diperoleh

AB==OBOA12sinθ5cosθ

  • Dengan menyubtitusikan nilai AB yang diperoleh di atas ke persamaan AB=Rsin(θα), diperoleh 

AB12sinθ5cosθ==Rsin(θα)Rsin(θα)(1)

  • Kemudian, karena AsinθBcosθ=Rsin(θα) denganR=A2+B2 dan tanα=AB, maka dari persamaan (1) di atas diperoleh 

​​​​​​​AB==125

sehingga diperoleh 

R=122+52=144+25=169=13

dan 

tanαα===125tan1(125)22,6

b) Oleh karena dari (a), dapat diperoleh 

ABRsin(θα)13sin(θ22,6)===Rsin(θα)ABAB

maka nilai θ untuk AB=3cm adalah 

13sin(θ22,6)sin(θ22,6)sin(θ22,6)θ22,6θ======3133sin(13,3)13,313,3+22,635,9

Dengan demikian, diperoleh:

a. nilai R dan α yang memenuhi AB=Rsin(θα) adalahR=13 dan α=22,6,

b.  nilai θ untuk AB=3cm adalah θ=35,9. 

0

Roboguru

Tentukan nilai-nilai x dalam interval 0∘<x<360∘ yang memenuhi persamaan di bawah ini : 12sinx∘−5cosx∘=13

Pembahasan Soal:

Ingat :

  • Rcos(xα)=acosx+bsinx,denganR=a2+b2danα=tan1(ab)
  • Penyelesaian persamaan acosx+bsinx=c,cR :

x=α±cos(Rc)+k360,k360 

Diketahui dari soal :

12sinx5cosx=13

Berdasarkan konsep di atas maka diperoleh :

Rcos(xα)12sinx5cosxRR====acosx+bsinxRcos(xα)=13a2+b2(5)2+(12)2=25+144=169=13

Karena (5,12) berada di kuadran kedua maka α juga di kuadran dua dengan tanα=512. Perhatikan :

 

dimana α=πθ

Karena α=πθ maka :

θ=tan1(512)=67,38α=πθ=112,62

Sehingga diperoleh persamaan 13cos(x112,62)=13. Maka diperoleh :

13cos(x112,62)cos(x112,62)x112,62xcos11x1x2untukkx1x2==========131313=1cos11α±cos(Rc)+k3600α+cos(Rc)+k360αcos(Rc)+k3600:112,62=112,62112,62=112,62

Dengan demikian, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 112,62.

 

0

Roboguru

Diketahui 23​cos2x−2sinxcosx−1−3​=0. Nilai x yang memenuhi untuk 0∘<x<360∘ adalah...

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space x end cell equals cell cos space a comma space maka end cell row x equals cell plus-or-minus a plus k times 360 end cell end table

cos squared minus 1 equals cos space 2 x

sin space 2 x equals 2 sin space x space cos space x

Dan juga

A space cos space x plus B sin space x equals k space cos space left parenthesis x minus theta right parenthesis

dengan

k equals square root of A squared plus B squared end root

tan space theta equals B over A space atau space straight theta equals space arctan space open parentheses straight B over straight A close parentheses 

Catatan : Sudut θ berada di kuadran yang sama dengan titik (A, B).

Sehingga diperoleh perhitungan:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 square root of 3 space cos squared space x minus 2 space sin space x space cos space x space minus 1 minus square root of 3 end cell equals 0 row cell 2 square root of 3 space cos squared space x minus square root of 3 minus 2 space sin space x space cos space x minus 1 end cell equals 0 row cell square root of 3 open parentheses 2 space cos squared space x minus 1 close parentheses minus 2 space sin space x space cos space x end cell equals 1 row cell square root of 3 cos space 2 x minus sin space 2 x end cell equals cell 1... open parentheses 1 close parentheses end cell end table 

Misalkan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of 3 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cos end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank sin end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank k end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cos end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 2 x minus theta close parentheses end cell end table, maka

A equals square root of 3 space dan space B equals negative 1 , sehingga

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row k equals cell square root of open parentheses square root of 3 close parentheses squared plus open parentheses negative 1 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 4 end cell row blank equals 2 end table

Karena left parenthesis A comma space B right parenthesis equals left parenthesis square root of 3 comma space minus 1 right parenthesis berada di kuadran IV maka θ juga berada di kuadran IV, maka:

tan space theta equals fraction numerator negative 1 over denominator square root of 3 end fraction equals negative fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction rightwards arrow theta equals 330 degree

Diperoleh persamaan:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell square root of 3 end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cos end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank sin end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank x end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table 2 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cos end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses 2 x minus 330 close parentheses.... open parentheses 2 close parentheses end cell end table

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh hubungan:

2 space cos space open parentheses 2 x minus 330 close parentheses equals 1 space cos space open parentheses 2 x minus 330 close parentheses equals 1 half cos space open parentheses 2 x minus 330 close parentheses equals cos space 60

Solusi I

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x minus 330 end cell equals cell 60 plus k times 360 end cell row cell 2 x end cell equals cell 390 plus k times 360 end cell row x equals cell 195 plus k times 180 end cell end table

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank k end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 1 end table

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell x subscript 1 equals 195 minus 180 end cell row cell x subscript 1 end cell equals cell 15 degree end cell end table  

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank k end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table 0

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell x subscript 2 equals 195 plus 0 end cell row cell x subscript 2 end cell equals cell 195 degree end cell end table   

Solusi II

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x minus 330 end cell equals cell negative 60 plus k times 360 end cell row cell 2 x end cell equals cell 270 plus k times 360 end cell row x equals cell 135 plus k times 180 end cell end table

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank k end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table 0

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell x subscript 3 equals 135 plus 0 end cell row cell x subscript 3 end cell equals cell 135 degree end cell end table  

Untuk table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank k end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table 1

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank rightwards arrow cell x subscript 4 equals 135 plus 180 end cell row cell x subscript 4 end cell equals cell 315 degree end cell end table

Dengan demikian, Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah open curly brackets 15 degree comma space 135 degree comma space 195 degree comma space space 360 degree close curly brackets

Jadi, jawaban yang tepat adalah D

0

Roboguru

Jumlah nilai-nilai x pada interval 0 ≤ x ≤ 2π sehingga  mencapai nilai minimum adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa

begin mathsize 14px style A cos invisible function application x plus B sin invisible function application x equals k cos invisible function application open parentheses x minus alpha close parentheses end style

dengan syarat

begin mathsize 14px style k equals square root of A squared plus B squared end root end style dan begin mathsize 14px style alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses B over A close parentheses end style

Maka, dari begin mathsize 14px style square root of 3 cos invisible function application 3 x plus sin invisible function application 3 x equals k cos invisible function application open parentheses 3 x minus alpha close parentheses end style dengan A = begin mathsize 14px style square root of 3 end style dan B = 1, didapat

begin mathsize 14px style k equals square root of open parentheses square root of 3 close parentheses squared plus 1 squared end root k equals square root of 3 plus 1 end root k equals square root of 4 k equals 2 end style 

dan

begin mathsize 14px style alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 3 end fraction close parentheses alpha equals tan to the power of negative 1 end exponent invisible function application open parentheses 1 third square root of 3 close parentheses end style 

Perhatikan bahwa A berhubungan dengan cos ⁡x dan B berhubungan dengan sin ⁡x.
Kemudian A bernilai positif dan B bernilai positif.

Kuadran dengan cosinus sudut yang bernilai positif dan sinus sudut yang bernilai positif terdapat pada kuadran I. Sehingga α berada pada kuadran I.

Karena begin mathsize 14px style tan invisible function application 30 degree equals 1 third square root of 3 end style, maka α = 30°.

Maka

begin mathsize 14px style square root of 3 cos invisible function application 3 x plus sin invisible function application 3 x equals 2 cos invisible function application open parentheses 3 x minus 30 degree close parentheses end style

Sehingga

begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals square root of 3 cos invisible function application 3 x plus sin invisible function application 3 x f open parentheses x close parentheses equals 2 cos invisible function application open parentheses 3 x minus 30 degree close parentheses end style

Nilai minimum dari f(x) didapat ketika

begin mathsize 14px style cos invisible function application open parentheses 3 x minus 30 degree close parentheses equals negative 1 cos invisible function application open parentheses 3 x minus 30 degree close parentheses equals cos invisible function application 180 degree end style

Ingat bahwa pada persamaan cos⁡ A = cos ⁡B, maka A = B + k⋅360° atau A = -B + k⋅360°.

Sehingga dari persamaan cos⁡(3x - 30°) = cos⁡ 180°, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x minus 30 degree end cell equals cell 180 degree plus k times 360 degree end cell row cell 3 x end cell equals cell 180 degree plus 30 degree plus k times 360 degree end cell row cell 3 x end cell equals cell 210 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 70 degree plus k times 120 degree end cell end table end style

Atau

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 x minus 30 degree end cell equals cell negative 180 degree plus k times 360 degree end cell row cell 3 x end cell equals cell negative 180 degree plus 30 degree plus k times 360 degree end cell row cell 3 x end cell equals cell negative 150 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 50 degree plus k times 120 degree end cell end table end style

Perhatikan bahwa pada soal diketahui interval 0 ≤ x ≤ 2π atau sama saja dengan 0° ≤ x ≤ 360°.

Untuk x = 70° + k⋅120°,
Jika k = 0, maka x = 70° + 0⋅120° = 70°.
Jika k = 1, maka x = 70° + 1⋅120° = 190°.
Jika k = 2, maka x = 70° + 2⋅120° = 310°.
Jika k = 3, maka x = 70° + 3⋅120° = 430° (tidak memenuhi).
Jika k = -1, maka x = 70° + (-1)⋅120° = -50° (tidak memenuhi).

Untuk x = -50° + k⋅180°,
Jika k = 0, maka x = -50° + 0⋅120° = -50° (tidak memenuhi).
Jika k = 1, maka x = -50° + 1⋅120° = 70° (sudah didapatkan sebelumnya).
Jika k = 2, maka x = -50° + 2⋅120° = 190° (sudah didapatkan sebelumnya).
Jika k = 3, maka x = -50° + 3⋅120° = 310° (sudah didapatkan sebelumnya).
Jika k = 4, maka x = -50° + 4⋅120° = 430° (tidak memenuhi).

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 70°, 190°, 310°.

Dalam radian, dapat dituliskan sebagai begin mathsize 14px style 7 over 18 pi comma 19 over 18 pi comma 31 over 18 pi end style.

Sehingga jumlah dari nilai x yang memenuhi adalah

begin mathsize 14px style 7 over 18 pi plus 19 over 18 pi plus 31 over 18 pi equals 57 over 18 pi equals 19 over 6 pi end style 

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini, untuk −2π≤x≤2π. sinx=cosx+2​

Pembahasan Soal:

Ingat,

Bentuk khusus trigonometri

Pengubahan acosx+bsinx ke bentuk Rcos(xα)

dengan R=a2+b2 dan α=tan1(ab)

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

sinx=cosx+2sinxcosx=2

Diketahui a=1,b=1 titik (1,1)  di kuadran II

R=a2+b2=(1)2+12=1+1=2

α=tan1(ab)=tan1(11)=tan1(1)=π

►Pengubahan bentuk sinxcosx menjadi  Rcos(xα)

sinxcosx=2cos(xπ)

►Penyelesaian persamaan

sinxsinxcosx2cos(xπ)cos(xπ)cos(xπ)=====cosx+2221cos0

►Menentukan himpunan penyelesaian bentuk cosx=cosp

cosxx1x2cos(xπ)xπxxcos(xπ)xπx==========cospp+k2πp+k2πcos00+(1)2ππ2ππcos00+(0)2ππ

Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat sehingga 2πx2π

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan sinx=cosx+2, untuk 2πx2π adalah {π,π}. 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved