Roboguru

Hitunglah: a. 12+22+...+202+192+...+22+12

Pertanyaan

Hitunglah:

a. 12+22+...+202+192+...+22+12  

Pembahasan Soal:

Ingat!

  • 12+22+...+n2=6n(n+1)(2n+1) 

Sehingga:

=====12+22+...+202+192+...+22+122(12+22+...+202)2×6(19)(20)(2×19+1)+2022×6(19)(20)(39)+4004.940+4005.340 

Dengan demikian, hasil dari 12+22+...+202+192+...+22+12 adalah 5.340.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan dengan induksi matematika. berlaku untuk semua n bilangan asli.

Pembahasan Soal:

Misalkan begin mathsize 12px style P subscript n identical to 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n over 2 to the power of n end cell equals cell 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end cell row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 2 minus fraction numerator 1 plus 2 over denominator 2 to the power of 1 end fraction end cell row cell 1 half end cell equals cell 2 minus 3 over 2 end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k, sehingga 

begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction end style

P subscript n benar untuk n equals k plus 1

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kiri equals 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus k over 2 to the power of k plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 2 over denominator 2 to the power of k end fraction plus fraction numerator k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 left parenthesis k plus 2 right parenthesis plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative 2 k minus 4 plus k plus 1 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative k minus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 plus fraction numerator negative left parenthesis k plus 3 right parenthesis over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator k to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kanan equals 2 minus fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 over denominator 2 to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent end fraction equals 2 minus fraction numerator k plus 3 over denominator 2 to the power of k plus 1 end exponent end fraction end style

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P subscript nbenar untuk n equals k plus 1 

Dengan demikian,

 begin mathsize 12px style 1 half plus 2 over 2 squared plus 3 over 2 cubed plus horizontal ellipsis plus n over 2 to the power of n equals 2 minus fraction numerator n plus 2 over denominator 2 to the power of n end fraction end style

 terbukti benar untuk n bilangan asli.

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Misalkan P subscript n identical to 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals 1 half n left parenthesis n plus 1 right parenthesis. Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 half left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis end cell equals cell 1 half left parenthesis 2 right parenthesis end cell row blank equals 1 row blank blank blank end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k, sehingga 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k equals 1 half k left parenthesis k plus 1 right parenthesis

P subscript n benar untuk n equals k plus 1

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus k plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell equals cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis open square brackets left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 close square brackets end cell row cell 1 half k left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis end cell equals cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row cell 1 half open parentheses k squared plus k plus 2 k plus 2 close parentheses end cell equals cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row cell 1 half open parentheses k squared plus 3 k plus 2 close parentheses end cell equals cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell equals cell 1 half left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell end table end style

Jadi, P subscript nbenar untuk n equals k plus 1 dan P subscript n berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Dengan demikian, 1 plus 2 plus 3 plus horizontal ellipsis plus n equals 1 half n left parenthesis n plus 1 right parenthesis terbukti benar.

2

Roboguru

Tulislah dalam notasi sigma, kemudian tentukan masing-masing formulanya dalam ekspresi . a. 3+7+11+...+(4n−1)

Pembahasan Soal:

Deret pada soal merupakan deret artimetika dengan b=4.

Dari deret aritmatika di atas:

  • Pola ke-n : 4n1  
  • Batas bawah: 

4n14n4nn====33+141 

  • Batas atas: n 

Sehingga notasi sigmanya adalah n=1n(4i1).

  • Formulanya dalam ekspresi undefined.

Sn====2n(a+Un)2n(3+4n1)2n(4n+2)2n2+n 

Dengan demikian, deret dari 3+7+11+...+(4n1) dapat ditulis dalam notasi sigma n=1n(4i1) dan formulanya dalam ekspresi undefined adalah Sn=2n2+n atau dapat ditulis dalam bentuk n=1n(4i1)=2n2+n.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of n equals 1 minus 1 over 2 to the power of n

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of n end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 minus 1 half end cell row cell 1 half end cell equals cell 1 half end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga 

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k equals 1 minus 1 over 2 to the power of k

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent equals 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 half plus 1 fourth plus 1 over 8 plus horizontal ellipsis plus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 2 plus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 2 to the power of k minus 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus fraction numerator 1 over denominator 2 times 2 to the power of k end fraction end cell row blank equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap n bilangan asli.

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 n minus 1 close parentheses open parentheses 3 n plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 6 n plus 4 end fraction

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 times 1 minus 1 close parentheses open parentheses 3 times 1 plus 2 close parentheses end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 6 times 1 plus 4 end fraction end cell row cell fraction numerator 1 over denominator 2 times 5 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator 6 plus 4 end fraction end cell row cell 1 over 10 end cell equals cell 1 over 10 end cell end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k minus 1 close parentheses open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator k over denominator 6 k plus 4 end fraction

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k minus 1 close parentheses open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank blank cell plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator 6 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 4 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator 6 k plus 10 end fraction end cell end table

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k minus 1 close parentheses open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank blank cell plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator 6 k plus 4 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 3 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses end fraction plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k open parentheses 3 k plus 5 close parentheses plus 1 times 2 over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 3 k squared plus 5 k plus 2 over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 open parentheses 3 k plus 2 close parentheses open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses over denominator 2 open parentheses 3 k plus 5 close parentheses end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator k plus 1 over denominator 6 k plus 10 end fraction end cell row blank blank blank end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa

fraction numerator 1 over denominator 2 cross times 5 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 5 cross times 8 end fraction plus fraction numerator 1 over denominator 8 cross times 11 end fraction plus horizontal ellipsis plus fraction numerator 1 over denominator open parentheses 3 n minus 1 close parentheses open parentheses 3 n plus 2 close parentheses end fraction equals fraction numerator n over denominator 6 n plus 4 end fraction

1

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved