Roboguru

Himpunan semua bilangan real x pada selang [0,2π] yang memenuhi 2−2sin2x≤3​cosx berbentuk [a,b]∪[c,d]. Nilai a+b+c+d adalah ...

Pertanyaan

Himpunan semua bilangan real x pada selang [0,2π] yang memenuhi 22sin2x3cosx berbentuk [a,b][c,d]. Nilai a+b+c+d adalah ...

  1. 3π

  2. 321π

  3. 4π

  4. 421π

  5. 5π

Pembahasan Soal:

Solusi dari persamaan trigonometri cosx=cosa adalah

  1. x=a+k2π
  2. x=a+k2π

Ingat juga identitas trigonometri: sin2x+cos2x=1.

Penyelesaian:

22sin2x3cosx22(1cos2x)3cosx22+2cos2x3cosx2cos2x3cosx0cosx(2cosx3)0

Ubah menjadi bentuk persamaan trigonometri untuk mencari batas nilai x.

cosx(2cosx3)=0cosx=0ataucosx=23

Selanjutnya,

cosx=0cosx=cos2π

Solusi untuk x[0,2π]

  • x=2π+k2π
    Untuk k=0x=2π
    Untuk k=1x=25π(T.M)
  • x=2π+k2π
    Untuk k=0x=2π(T.M)
    Untuk k=1x=23π
    Untuk k=2x=27π(T.M)

cosx=23cosx=cos6π

Solusi untuk x[0,2π]

  • x=6π+k2π
    Untuk k=0x=6π
    Untuk k=1x=613π(T.M)
  • x=6π+k2π
    Untuk k=0x=6π(T.M)
    Untuk k=1x=611π
    Untuk k=2x=623π(T.M)

Batas-batas nilai x={6π,2π,23π,611π}

Kemudian, uji coba interval menggunakan garis bilangan sehingga menghasilkan:

Karena cos space x open parentheses 2 space cos space x minus square root of 3 close parentheses less or equal than 0, maka solusinya adalah [a,b][c,d]=[6π,2π][23π,611π].

Sehingga nilai dari a+b+c+d adalah

a+b+c+d==6π+2π+23π+611π4π

Jadi, hasil dari a+b+c+d=4π.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Nuryani

Terakhir diupdate 17 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Jika sin(2x+75)=a dan sin(x+45∘)=b, maka cos(3x+120∘)cos(x+30∘)=...

Pembahasan Soal:

Ingat!

  • 2cosAcosB=cos(A+)+cos(AB) 
  • cos2A=12sin2A 

Perhatikan perhitungan berikut 

sin(2x+75)=a dan sin(x+45)=b, maka 

cos(3x+120)cos(x+45)=21(cos(3x+120+x+30)+cos(3x+120(x+30)))=21(cos(4x+150)+cos(2x+90))=21(cos2(2x+75)+cos2(x+45))=21(12sin2(2x+75)+12sin2(x+45))=21(12a2+12b2)=21(22a22b2)=1a2b2  

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A. 

Roboguru

Himpunan semua bilangan real x pada selang [0,2π] yang memenuhi 2−2sin2x≤3​cosx berbentuk [a,b]∪[c,d]. Nilai a+b+c+d adalah ...

Pembahasan Soal:

22sin2x2(1sin2x)3cosx2cos2x3cosx2cosx(cosx23)3cosx000 

Untuk menentukan nilai daerah penyelesaian, perhatikan grafik cosinus! 

GAMBAR 

2cosx(cosx23) akan bernilai negatif untuk interval daerah yang diarsir. 

Artinya :

[a,b][c,d]=[30,90][270,330]a+b+c+d=30+90+270+330=720=4π 

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Roboguru

Penyelesaian dari  untuk  adalah ….

Pembahasan Soal:

Perhatikan perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin invisible function application x plus cos invisible function application x end cell equals 0 row cell sin invisible function application x end cell equals cell negative cos invisible function application x end cell row cell fraction numerator sin invisible function application x over denominator cos invisible function application x end fraction end cell equals cell negative 1 end cell row cell tan invisible function application x end cell equals cell negative 1 end cell row cell tan invisible function application x end cell equals cell tan invisible function application fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction end cell end table

Akibatnya, diperoleh x equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction plus k times pi dengan k bilangan bulat.

Untuk k equals negative 1, maka x equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction minus pi equals negative pi over 4 yang tidak memenuhi syarat 0 less than x less than pi. Akibatnya, untuk k equals negative 1 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi.

Untuk = 0, maka x equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction minus 0 equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction yang memenuhi syarat 0 less than x less than pi.

Untuk = 1, maka x equals fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction plus pi equals fraction numerator 7 pi over denominator 4 end fraction yang tidak memenuhi syarat 0 less than x less than pi. Akibatnya, untuk = 1 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi.

Akibatnya, diperoleh garis bilangan untuk sin invisible function application x plus cos invisible function application x adalah sebagai berikut.
 


Karena tanda pertidaksamaan adalah ≥, maka interval penyelesaiannya adalah 0 less than x less or equal than fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction.

Oleh karena itu, penyelesaian dari sin invisible function application x plus cos invisible function application x greater or equal than 0 untuk 0 less than x less than pi adalah 0 less than x less or equal than fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction.

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru

Penyelesaian dari pertidaksamaan  untuk  adalah ….

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa cos invisible function application 2 x equals 2 cos squared invisible function application x minus 1 sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos invisible function application 2 x end cell less or equal than cell 2 minus square root of 3 cos invisible function application x end cell row cell 2 cos squared invisible function application x minus 1 end cell less or equal than cell 2 minus square root of 3 cos invisible function application x end cell row cell 2 cos squared invisible function application x plus square root of 3 cos invisible function application x minus 3 end cell less or equal than 0 row cell open parentheses 2 cos invisible function application x minus square root of 3 close parentheses open parentheses cos invisible function application x plus square root of 3 close parentheses end cell less or equal than 0 end table

Ruas kiri akan sama dengan nol jika cos invisible function application x equals 1 half square root of 3 atau cos invisible function application x equals negative square root of 3 (Tidak mungkin).

Perhatikan perhitungan sebagai berikut.

cos invisible function application x equals 1 half square root of 3 cos invisible function application x equals cos invisible function application pi over 6

Akibatnya, diperoleh x equals pi over 6 plus k times 2 pi atau x equals negative pi over 6 plus k times 2 pi.

Untuk k equals negative 1, maka x equals pi over 6 minus 2 pi equals negative fraction numerator 11 pi over denominator 6 end fraction atau x equals negative pi over 6 minus 2 pi equals negative fraction numerator 13 pi over denominator 6 end fraction yang keduanya tidak memenuhi syarat negative pi over 2 less than x less than pi over 2. Akibatnya, k equals negative 1 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi.

Untuk = 0, maka x equals pi over 6 plus 0 equals pi over 6 atau x equals negative pi over 6 plus 0 equals negative pi over 6 yang keduanya memenuhi syarat negative pi over 2 less than x less than pi over 2.

Untuk = 1, maka x equals pi over 6 plus 2 pi equals fraction numerator 13 pi over denominator 6 end fraction atau x equals negative pi over 6 plus 2 pi equals fraction numerator 11 pi over denominator 6 end fraction yang keduanya tidak memenuhi syarat negative pi over 2 less than x less than pi over 2. Akibatnya, = 1 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi.

Kemudian, diperoleh garis bilangan sebagai berikut.
 


Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan cos invisible function application 2 x less or equal than 2 minus square root of 3 cos invisible function application x untuk negative pi over 2 less than x less than pi over 2 adalah negative pi over 2 less than x less or equal than negative pi over 6 atau pi over 6 less or equal than x less than pi over 2.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Roboguru

Penyelesaian dari pertidaksamaan  untuk  adalah ….

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa sin invisible function application 4 x equals 2 sin invisible function application 2 x cos invisible function application 2 x sehingga diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 minus sin invisible function application 4 x end cell greater than cell 4 sin invisible function application 2 x minus 2 cos invisible function application 2 x end cell row cell 4 minus 2 sin invisible function application 2 x cos invisible function application 2 x end cell greater than cell 4 sin invisible function application 2 x minus 2 cos invisible function application 2 x end cell row cell 4 minus 4 sin invisible function application 2 x plus 2 cos invisible function application 2 x minus 2 sin invisible function application 2 x cos invisible function application 2 x end cell greater than 0 row cell 4 open parentheses 1 minus sin invisible function application 2 x close parentheses plus 2 cos invisible function application 2 x open parentheses 1 minus sin invisible function application 2 x close parentheses end cell greater than 0 row cell open parentheses 4 plus 2 cos invisible function application 2 x close parentheses open parentheses 1 minus sin invisible function application 2 x close parentheses end cell greater than 0 end table

Ruas kiri akan sama dengan nol jika cos invisible function application 2 x equals negative 2 (tidak mungkin) atau sin invisible function application 2 x equals 1.

Perhatikan perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin invisible function application 2 x end cell equals 1 row cell sin invisible function application 2 x end cell equals cell sin invisible function application pi over 2 end cell row cell 2 x end cell equals cell pi over 2 plus k times 2 pi end cell row x equals cell pi over 4 plus k times pi end cell end table

Untuk k equals negative 2, maka x equals pi over 4 minus 2 pi equals negative fraction numerator 7 pi over denominator 4 end fraction yang tidak memenuhi syarat negative pi less than x less than pi. Akibatnya, k equals negative 2 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih kecil juga pasti tidak memenuhi.

Untuk k equals negative 1, maka x equals pi over 4 minus pi equals negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction memenuhi syarat negative pi less than x less than pi.

Untuk = 0, maka x equals pi over 4 plus 0 equals pi over 4 memenuhi syarat negative pi less than x less than pi.

Untuk = 1, maka x equals pi over 4 plus pi equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction yang tidak memenuhi syarat negative pi less than x less than pi. Akibatnya, = 1 tidak memenuhi dan untuk nilai k yang lebih besar juga pasti tidak memenuhi.

Kemudian, diperoleh garis bilangan sebagai berikut.
 


Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan 4 minus sin invisible function application 4 x greater than 4 sin invisible function application 2 x minus 2 cos invisible function application 2 x untuk negative pi less than x less than pi adalah negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction less than x less than pi over 4.

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved