Pertanyaan

Garis g menghubungkan titik A ( 5 , 0 ) dan titik B ( 10 cos θ , 10 sin θ ) . Titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=2:3. Jika θ berubah dari 0 sampai 360 derajat maka titik P bergerak menelusuri lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Garis g menghubungkan titik A $(5, 0)$ dan titik B $(10 cos θ, 10 sin θ)$ . Titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=2:3. Jika $θ$ berubah dari 0 sampai 360 derajat maka titik P bergerak menelusuri lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Y. Umi

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Gadjah Mada

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan lingkaran tersebut adalah .

persamaan lingkaran tersebut adalah

Pembahasan

Jika , maka . Menentukan titik P AP:PB=2:3 Sehingga diperoleh: Menggunakanidentitas trigonometri Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah .

Jika , maka $begin mathsize 14px style stack text P end text with rightwards arrow on top equals fraction numerator text m end text b with rightwards arrow on top plus text n end text a with rightwards arrow on top over denominator text m end text plus text n end text end fraction end style$ .

Menentukan titik P

AP:PB=2:3

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text P end text open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell fraction numerator 2 b with rightwards arrow on top plus 3 a with rightwards arrow on top over denominator 2 plus 3 end fraction end cell row cell text P end text open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 10 cos space theta comma 10 sin space theta close parentheses plus 3 open parentheses 5 comma 0 close parentheses over denominator 5 end fraction end cell row cell text P end text open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses 20 cos space theta comma 20 sin space theta close parentheses plus open parentheses 15 comma 0 close parentheses over denominator 5 end fraction end cell row cell text P end text open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell open parentheses 4 cos space theta comma 4 sin space theta close parentheses plus open parentheses 3 comma 0 close parentheses end cell row cell text P end text open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell open parentheses 4 cos space theta plus 3 comma 4 sin space theta close parentheses end cell end table end style$

Sehingga diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 4 cos space theta plus 3 end cell row cell cos space theta end cell equals cell fraction numerator x minus 3 over denominator 4 end fraction end cell row y equals cell 4 sin space theta end cell row cell sin space theta end cell equals cell y over 4 end cell end table end style$

Menggunakan identitas trigonometri

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos squared theta plus sin squared theta end cell equals 1 row cell open parentheses fraction numerator x minus 3 over denominator 4 end fraction close parentheses squared plus open parentheses y over 4 close parentheses squared end cell equals 1 row cell fraction numerator x squared minus 6 x plus 9 over denominator 16 end fraction plus y squared over 16 end cell equals 1 row cell 16 open parentheses fraction numerator x squared minus 6 x plus 9 over denominator 16 end fraction plus y squared over 16 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 16 close parentheses end cell row cell x squared minus 6 x plus 9 plus y squared end cell equals 16 row cell x squared plus y squared minus 6 x end cell equals 7 end table end style$

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah .