Pertanyaan

Gambar OADC.BEFG adalah paralelpipedum yaitu padatan dengan enam sisi. Setiap sisi jajargenjang yang berseberangan kongruen. O adalah titik asal. A, B, dan C masing-masing memiliki vektor posisi ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ , ⎝ ⎛ 2 1 2 ⎠ ⎞ , dan ⎝ ⎛ − 3 2 1 ⎠ ⎞ . Nyatakanlah vektor posisi dari titik D, E, dan F. Hitung sudut lancip antara OF dan OD .

Gambar OADC.BEFG adalah paralelpipedum yaitu padatan dengan enam sisi. Setiap sisi jajargenjang yang berseberangan kongruen. O adalah titik asal. A, B, dan C masing-masing memiliki vektor posisi $⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞$ , $⎝ ⎛ 212 ⎠ ⎞$ , dan $⎝ ⎛ - 3 21 ⎠ ⎞$ .

Nyatakanlah vektor posisi dari titik D, E, dan F.
Hitung sudut lancip antara $OF$ dan $OD$ .

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Vektor posisi dari A, B, dan C dengan titik asal O dapat ditulis berturut-turut sebagai vektor OA = ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ , OB = ⎝ ⎛ 2 1 2 ⎠ ⎞ , dan vektor OC = ⎝ ⎛ − 3 2 1 ⎠ ⎞ . Dari gambar pada soal, diperoleh bahwa: OC = AD = BG = EF OB = AE = CD = DF OA = CD = BE = GF Vektor posisi dari titik D, E, dan F dapat dicari dengan menjumlahkan vektor sebagaimana berikut ini: OD = = = = = OA + AD OA + OC ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ − 3 2 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 3 0 + 2 0 + 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 2 1 ⎠ ⎞ OE = = = = = OA + AE OA + OB ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 2 1 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 + 2 0 + 1 0 + 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 3 1 2 ⎠ ⎞ OF = = = = = OD + DF OD + OB ⎝ ⎛ − 2 2 1 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 2 1 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 + 2 2 + 1 1 + 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 0 3 3 ⎠ ⎞ Sudut lancip antara dua vektor a = ⎝ ⎛ a 1 a 2 a 3 ⎠ ⎞ dan b = ⎝ ⎛ b 1 b 2 b 3 ⎠ ⎞ dapat dihitung menggunakan rumus berikut: cos θ = = ∣ a ∣ ∣ b ∣ a ⋅ b ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Sudut lancip antara OF dan OD , yaitu: cos θ θ = = = = = = = = = = ∣ ∣ OF ∣ ∣ ∣ ∣ OD ∣ ∣ OF ⋅ OD ∣ ∣ ( 0 3 3 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ( − 2 2 1 ) ∣ ∣ ( 0 3 3 ) ⋅ ( − 2 2 1 ) ( 0 2 + 3 2 + 3 2 ) ( ( − 2 ) 2 + 2 2 + 1 2 ) ( 0 ) ( − 2 ) + ( 3 ) ( 2 ) + ( 3 ) ( 1 ) ( 9 + 9 ) ( 4 + 4 + 1 ) 0 + 6 + 3 ( 2 × 9 ) ( 9 ) 9 9 2 9 2 1 × 2 2 2 1 2 cos − 1 ( 2 1 2 ) 4 5 ∘ Dengan demikian, vektor posisi dari D, E, dan F berturut-turut adalah ⎝ ⎛ − 2 2 1 ⎠ ⎞ , ⎝ ⎛ 3 1 2 ⎠ ⎞ , dan ⎝ ⎛ 0 3 3 ⎠ ⎞ . Sedangkan besar sudut lancip antara OF dan OD yaitu 4 5 ∘ .

Vektor posisi dari A, B, dan C dengan titik asal O dapat ditulis berturut-turut sebagai vektor $OA = ⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞$ , $OB = ⎝ ⎛ 212 ⎠ ⎞$ , dan vektor $OC = ⎝ ⎛ - 3 21 ⎠ ⎞$ .

Dari gambar pada soal, diperoleh bahwa:

$OC = AD = BG = EF OB = AE = CD = DF OA = CD = BE = GF$

Vektor posisi dari titik D, E, dan F dapat dicari dengan menjumlahkan vektor sebagaimana berikut ini:

$OD = = = = = OA + AD OA + OC ⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ - 3 21 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 3 0 + 2 0 + 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 21 ⎠ ⎞$

$OE = = = = = OA + AE OA + OB ⎝ ⎛ 100 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 212 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 + 2 0 + 1 0 + 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 312 ⎠ ⎞$

$OF = = = = = OD + DF OD + OB ⎝ ⎛ - 2 21 ⎠ ⎞ + ⎝ ⎛ 212 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 + 2 2 + 1 1 + 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 033 ⎠ ⎞$

Sudut lancip antara dua vektor $a = ⎝ ⎛ a_{1} a_{2} a_{3} ⎠ ⎞$ dan $b = ⎝ ⎛ b_{1} b_{2} b_{3} ⎠ ⎞$ dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

$cos θ = = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ b ∣} \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + a _{3} b _{3}}{( a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + a _{3}^{2} ) ( b _{1}^{2} + b _{2}^{2} + b _{3}^{2} )}$

Sudut lancip antara $OF$ dan $OD$ , yaitu:

$cos θ θ = = = = = = = = = = \frac{OF \cdot OD}{∣ ∣ OF ∣ ∣ ∣ ∣ OD ∣ ∣} \frac{( 0 3 3 ) \cdot ( - 2 2 1 )}{∣ ∣ ( 0 3 3 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ( - 2 2 1 ) ∣ ∣} \frac{( 0 ) ( - 2 ) + ( 3 ) ( 2 ) + ( 3 ) ( 1 )}{( 0 ^{2} + 3 ^{2} + 3 ^{2} ) ( ( - 2 ) ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2} )} \frac{0 + 6 + 3}{( 9 + 9 ) ( 4 + 4 + 1 )} \frac{9}{( 2 \times 9 ) ( 9 )} \frac{9}{9 2} \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} \frac{1}{2} 2 cos^{- 1} (\frac{1}{2} 2) 4 5^{\circ}$

Dengan demikian, vektor posisi dari D, E, dan F berturut-turut adalah $⎝ ⎛ - 2 21 ⎠ ⎞$ , $⎝ ⎛ 312 ⎠ ⎞$ , dan $⎝ ⎛ 033 ⎠ ⎞$ . Sedangkan besar sudut lancip antara $OF$ dan $OD$ yaitu $4 5^{\circ}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga ABC dengan A ( 3 , 1 , − 2 ) , B ( 7 , 6 , 5 ) dan C ( 1 , 6 , 2 ) . Besar sudut BAC adalah ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( − 1 , 2 , 1 ) , B ( 2 , − 2 , 2 ) dan C ( x , y , z ) . Agar vektor posisi dari C tegak lurus pada vektor posisi dari A dan vektor posisi dari B , maka adalah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( − 1 , 2 , 1 ) , B ( 2 , − 2 , 2 ) dan C ( x , y , z ) . Agar vektor posisi dari C tegak lurus pada vektor posisi dari A dan vektor posisi dari B , maka adalah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan A ( 3 , 1 , − 2 ) , B ( 7 , 6 , 5 ) dan C ( 1 , 6 , 2 ) . Besar sudut BAC adalah ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui A ( 2 , 6 , − 5 ) , B ( − 1 , 3 , 7 ) , dan C ( 4 , − 1 , 8 ) . AB dan BC berturut-turut mewakili vektor u dan v . Tentukan: b. u ⋅ ( u + v )

0.0

Jawaban terverifikasi