Pertanyaan

Diketahui lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan berjari-jari 5 . Jika lingkaran tersebut melalui titik ( − 2 , 1 ) dan titik ( 3 , 6 ) ,tentukan nilai dan b yang mungkin.

Diketahui lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $5$ . Jika lingkaran tersebut melalui titik $(- 2, 1)$ dan titik $(3, 6)$ , tentukan nilai $a$ dan $b$ yang mungkin. $\;\;$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat, Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan jari-jari r ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Berdasarkan penjelasan tersebut, diperoleh sebagai berikut Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) dan berjari-jari 5 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = 5 2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = 25 Lingkaran tersebut melalui titik ( − 2 , 1 ) dan titik ( 3 , 6 ) , sehingga titik-titik tersebut memenuhi persamaan lingkaran ♦Substitusi titik ( − 2 , 1 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( − 2 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 ( ( − 2 − a ) ( − 2 − a ) ) + ( ( 1 − b ) ( 1 − b ) ) ( 4 + 4 a + a 2 ) + ( 1 − 2 b + b 2 ) a 2 + 4 a + 4 + b 2 − 2 b + 1 a 2 + b 2 + 4 a − 2 b + 5 − 25 a 2 + b 2 + 4 a − 2 b − 20 a 2 + b 2 = = = = = = = = 25 25 25 25 25 0 0 − 4 a + 2 b + 20 Diperoleh persamaan a 2 + b 2 = − 4 a + 2 b + 20 ♦Substitusi titik ( 3 , 6 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( 3 − a ) 2 + ( 6 − b ) 2 ( ( 3 − a ) ( 3 − a ) ) + ( ( 6 − b ) ( 6 − b ) ) ( 9 − 6 a + a 2 ) + ( 36 − 12 b + b 2 ) a 2 − 6 a + 9 + b 2 − 12 b + 36 a 2 + b 2 − 6 a − 12 b + 45 − 25 a 2 + b 2 − 6 a − 12 b + 20 a 2 + b 2 = = = = = = = = 25 25 25 25 25 0 0 6 a + 12 b − 20 Diperoleh persamaan a 2 + b 2 = 6 a + 12 b − 20 Dari dua persamaan yang diperoleh a 2 + b 2 = − 4 a + 2 b + 20 dan a 2 + b 2 = 6 a + 12 b − 20 , maka − 4 a + 2 b + 20 − 10 a − 10 b 10 a + 10 b a + b = = = = 6 a + 12 b − 20 − 40 40 4 Pilih sembarang nilai dan b yang memenuhi a + b = 4 dan ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = 25 dengan nilai x dan y yaitu ( − 2 , 1 ) dan ( 3 , 6 ) Diperoleh ( a , b ) adalah ( 3 , 1 ) Uji dengantitik ( − 2 , 1 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 3 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( − 2 − 3 ) 2 + ( 1 − 1 ) 2 ( − 5 ) 2 + ( 0 ) 2 25 + 0 25 = = = = = = 25 25 25 25 25 25 Uji dengan titik ( 3 , 6 ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 3 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( 3 − 3 ) 2 + ( 6 − 1 ) 2 ( 0 ) 2 + ( 5 ) 2 0 + 25 25 = = = = = = 25 25 25 25 25 25 Dengan demikian,nilai adalah 3 dan nilai b adalah 1 .

Ingat,

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Berdasarkan penjelasan tersebut, diperoleh sebagai berikut

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan berjari-jari $5$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 5^{2} (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 25$

Lingkaran tersebut melalui titik $(- 2, 1)$ dan titik $(3, 6)$ , sehingga titik-titik tersebut memenuhi persamaan lingkaran

♦Substitusi titik $(- 2, 1)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (- 2 - a)^{2} + (1 - b)^{2} ((- 2 - a) (- 2 - a)) + ((1 - b) (1 - b)) (4 + 4 a + a^{2}) + (1 - 2 b + b^{2}) a^{2} + 4 a + 4 + b^{2} - 2 b + 1 a^{2} + b^{2} + 4 a - 2 b + 5 - 25 a^{2} + b^{2} + 4 a - 2 b - 20 a^{2} + b^{2} = = = = = = = = 252525252500 - 4 a + 2 b + 20$

Diperoleh persamaan $a^{2} + b^{2} = - 4 a + 2 b + 20$

♦Substitusi titik $(3, 6)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (3 - a)^{2} + (6 - b)^{2} ((3 - a) (3 - a)) + ((6 - b) (6 - b)) (9 - 6 a + a^{2}) + (36 - 12 b + b^{2}) a^{2} - 6 a + 9 + b^{2} - 12 b + 36 a^{2} + b^{2} - 6 a - 12 b + 45 - 25 a^{2} + b^{2} - 6 a - 12 b + 20 a^{2} + b^{2} = = = = = = = = 252525252500 6 a + 12 b - 20$

Diperoleh persamaan $a^{2} + b^{2} = 6 a + 12 b - 20$

Dari dua persamaan yang diperoleh $a^{2} + b^{2} = - 4 a + 2 b + 20$ dan $a^{2} + b^{2} = 6 a + 12 b - 20$ , maka

$- 4 a + 2 b + 20 - 10 a - 10 b 10 a + 10 b a + b = = = = 6 a + 12 b - 20 - 40 404$

Pilih sembarang nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi $a + b = 4$ dan $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 25$ dengan nilai $x$ dan $y$ yaitu $(- 2, 1)$ dan $(3, 6)$

Diperoleh $(a, b)$ adalah $(3, 1)$

Uji dengan titik $(- 2, 1)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} (- 2 - 3)^{2} + (1 - 1)^{2} (- 5)^{2} + (0)^{2} 25 + 0 25 = = = = = = 252525252525$

Uji dengan titik $(3, 6)$

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} (3 - 3)^{2} + (6 - 1)^{2} (0)^{2} + (5)^{2} 0 + 25 25 = = = = = = 252525252525$

Dengan demikian, nilai $a$ adalah $3$ dan nilai $b$ adalah $1$ . $\;\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Lingkaran dengan pusat ( 1 , 4 ) dan jari-jari 6 melalui titik ( a − 1 , a − 4 ) . a.Tentukan nilai-nilai yang mungkin b.Tentukan titik-titik yang dilalui lingkaran tersebut berdasarkan jawaban (a).

0.0

Jawaban terverifikasi

0.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran dengan pusat O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari ( a + 1 ) melalui titik ( − 3 , − 4 ) . Nilai yang mungkin adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran dengan pusat O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari ( a + 1 ) melalui titik ( − 3 , − 4 ) . Nilai yang mungkin adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah lingkaran melalui titik A ( − 4 , 3 ) dan pusat lingkaran terletak pada garis l : 2 x − 3 y − 1 = 0 yang absisnya 5. Persamaan lingkaran itu adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi