Roboguru

Diketahui fungsi f(x)=43​x4−7x3+15x2 yang didefinisikan pada interval 0≤x≤5. Tentukan: b. nilai minimum fungsi.

Pertanyaan

Diketahui fungsi begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals 3 over 4 x to the power of 4 minus 7 x cubed plus 15 x squared end style yang didefinisikan pada interval begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than 5 end style. Tentukan:

b. nilai minimum fungsi.

 

Pembahasan Soal:

Nilai stasioner dapat ditentukan dengan undefined, maka: 

size 14px f size 14px apostrophe size 14px left parenthesis size 14px x size 14px right parenthesis size 14px equals size 14px 3 size 14px x to the power of size 14px 3 size 14px minus size 14px 21 size 14px x to the power of size 14px 2 size 14px plus size 14px 30 size 14px x 

begin mathsize 14px style 3 x cubed minus 21 x squared plus 30 x equals 0 x cubed minus 7 x squared plus 10 x equals 0 x left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x minus 5 right parenthesis equals 0 end style 

begin mathsize 14px style x equals 0 comma space x equals 2 comma space x equals 5 end style

Terdefinisi untuk begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than 5 end style, maka nilai stasioner maka ketiga nilai x dapat digunakan untuk mencari nilai stasioner:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell 3 over 4 left parenthesis 0 right parenthesis to the power of 4 minus 7 left parenthesis 0 right parenthesis cubed plus 15 left parenthesis 0 right parenthesis squared space equals 0 end cell row blank blank blank row cell f left parenthesis 2 right parenthesis end cell equals cell space 3 over 4 left parenthesis 2 right parenthesis to the power of 4 minus 7 left parenthesis 2 right parenthesis cubed plus 15 left parenthesis 2 right parenthesis squared end cell row blank equals 16 row blank blank blank row cell f left parenthesis 5 right parenthesis end cell equals cell 3 over 4 left parenthesis 5 right parenthesis to the power of 4 minus 7 left parenthesis 5 right parenthesis cubed plus 15 left parenthesis 5 right parenthesis squared end cell row blank equals cell negative 31 1 fourth end cell end table end style  

Nilai minimum adalah nilai stasioner terkecil, yaitu 0

Jadi nilai minimumnya adalah 0

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 05 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukanlah nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi g(x)=2x(x2−12).

Pembahasan Soal:

Gunakan konsep aplikasi turunan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum.

Akan ditentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi g open parentheses x close parentheses equals 2 x open parentheses x squared minus 12 close parentheses.

*Menentukan turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell g open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 x open parentheses x squared minus 12 close parentheses end cell row cell g open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 x cubed minus 24 x end cell row cell g apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 6 x squared minus 24 end cell row cell g apostrophe apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 12 x end cell end table

*Menentukan nilai x dari syarat stasioner yaitu g apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell g apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 6 x squared minus 24 end cell equals 0 row cell 6 x squared end cell equals 24 row cell x squared end cell equals cell 24 over 6 end cell row cell x squared end cell equals 4 row x equals cell plus-or-minus square root of 4 end cell row x equals cell plus-or-minus 2 end cell row cell x equals 2 end cell logical or cell x equals negative 2 end cell end table

*Menentukan jenis stasionernya dengan menggunakan turunan kedua.

Untuk x equals 2

g apostrophe apostrophe open parentheses x close parentheses equals 12 x rightwards arrow g apostrophe apostrophe open parentheses 2 close parentheses equals 12 open parentheses 2 close parentheses equals 24 space open parentheses positif close parentheses

Karena hasilnya positif, artinya nilai x equals 2 menyebabkan fungsi minimum.

Untuk x equals negative 2

g apostrophe apostrophe open parentheses x close parentheses equals 12 x rightwards arrow g apostrophe apostrophe open parentheses negative 2 close parentheses equals 12 open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 24 space open parentheses negatif close parentheses

Karena hasilnya negatif, artinya nilai x equals negative 2 menyebabkan fungsi maksimum.

*Menentukan nilai maksimum dengan x equals negative 2.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell g open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 x cubed minus 24 x end cell row cell g open parentheses negative 2 close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses negative 2 close parentheses cubed minus 24 open parentheses negative 2 close parentheses end cell row blank equals cell negative 16 plus 48 end cell row cell g open parentheses negative 2 close parentheses end cell equals 32 end table

*Menentukan nilai minimum dengan x equals 2.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell g open parentheses x close parentheses end cell equals cell 2 x cubed minus 24 x end cell row cell g open parentheses 2 close parentheses end cell equals cell 2 open parentheses 2 close parentheses cubed minus 24 open parentheses 2 close parentheses end cell row blank equals cell 16 minus 48 end cell row cell g open parentheses 2 close parentheses end cell equals cell negative 32 end cell end table

Jadi, diperoleh nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 32 dan negative 32.

0

Roboguru

Tentukan nilai maksimum dan minimumnya 1. f(x)=x3−3x2−9x+2,−2≤x≤4

Pembahasan Soal:

Diketahui

f open parentheses x close parentheses equals x cubed minus 3 x squared minus 9 x plus 2 comma space minus 2 less or equal than x less or equal than 4

Titik stasioner fungsi 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 3 x squared minus 6 x minus 9 end cell equals 0 row cell x squared minus 2 x minus 3 end cell equals 0 row cell open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 1 close parentheses end cell equals 0 row cell x minus 3 end cell equals cell 0 space atau space x plus 1 equals 0 end cell row x equals cell 3 space atau space x equals negative 1 end cell end table

Tentukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik stasioner dan titik-titik batas interval

Untuk x equals negative 2 maka

f open parentheses negative 2 close parentheses equals open parentheses negative 2 close parentheses cubed minus 3 open parentheses negative 2 close parentheses squared minus 9 open parentheses negative 2 close parentheses plus 2 equals negative 8 minus 12 plus 18 plus 2 equals 0

Untuk x equals negative 1 maka

 f open parentheses negative 1 close parentheses equals open parentheses negative 1 close parentheses cubed minus 3 open parentheses negative 1 close parentheses squared minus 9 open parentheses negative 1 close parentheses plus 2 equals negative 1 minus 3 plus 9 plus 2 equals 7

Untuk x equals 3 maka

f open parentheses 3 close parentheses equals 3 cubed minus 3 open parentheses 3 close parentheses squared minus 9 open parentheses 3 close parentheses plus 2 equals 27 minus 27 minus 27 plus 2 equals negative 25

Untuk x equals 4 maka

f open parentheses 4 close parentheses equals 4 cubed minus 3 open parentheses 4 close parentheses squared minus 9 open parentheses 4 close parentheses plus 2 equals 64 minus 48 minus 36 plus 2 equals negative 18

Dengan demikian nilai maksimum fungsi adalah 7 dan nilai minimumnya negative 25.

0

Roboguru

Tentukan nilai maksimum dan minimumnya 4. f(x)=x3+9x2+24x−6,−5≤x≤−1

Pembahasan Soal:

Diketahui

f open parentheses x close parentheses equals x cubed plus 9 x squared plus 24 x minus 6 comma space space minus 5 less or equal than x less or equal than negative 1

Titik stasioner fungsi

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell 3 x squared plus 18 x plus 24 end cell equals 0 row cell x squared plus 6 x plus 8 end cell equals 0 row cell open parentheses x plus 4 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end cell equals 0 row cell x plus 4 end cell equals cell 0 space atau space x plus 2 equals 0 end cell row x equals cell negative 4 space atau space x equals negative 2 end cell end table

Tentukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik stasioner dan titik-titik batas interval

Untuk x equals negative 5 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 5 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 5 close parentheses cubed plus 9 open parentheses negative 5 close parentheses squared plus 24 open parentheses negative 5 close parentheses minus 6 end cell row blank equals cell negative 125 plus 225 minus 120 minus 6 end cell row blank equals cell negative 26 end cell end table

Untuk x equals negative 4 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 4 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 4 close parentheses cubed plus 9 open parentheses negative 4 close parentheses squared plus 24 open parentheses negative 4 close parentheses minus 6 end cell row blank equals cell negative 64 plus 144 minus 96 minus 6 end cell row blank equals cell negative 22 end cell end table

Untuk x equals negative 2 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 2 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 2 close parentheses cubed plus 9 open parentheses negative 2 close parentheses squared plus 24 open parentheses negative 2 close parentheses minus 6 end cell row blank equals cell negative 8 plus 36 minus 48 minus 6 end cell row blank equals cell negative 26 end cell end table

Untuk x equals negative 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses negative 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses negative 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses negative 1 close parentheses squared plus 24 open parentheses negative 1 close parentheses minus 6 end cell row blank equals cell negative 1 plus 9 minus 24 minus 6 end cell row blank equals cell negative 22 end cell end table

Dengan demikian nilai maksimum fungsi adalah negative 22 dan minimumnya adalah negative 26.

0

Roboguru

Tentukan nilai minimum fungsi f(x)=41​x4+21​x2−4x+6!

Pembahasan Soal:

Diketahui f open parentheses x close parentheses equals 1 fourth x to the power of 4 plus 1 half x squared minus 4 x plus 6. Jika f apostrophe open parentheses x close parentheses less than 0 untuk x less than af apostrophe open parentheses a close parentheses equals 0, dan f apostrophe open parentheses x close parentheses greater than 0 untuk x greater than a maka open parentheses a comma f open parentheses a close parentheses close parentheses merupakan titik balik minimum dan f open parentheses a close parentheses merupakan nilai minimum. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai minimum fungsi f open parentheses x close parentheses, langkah pertama adalah menentukan turunan dari f open parentheses x close parentheses sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell 1 fourth x to the power of 4 plus 1 half x squared minus 4 x plus 6 end cell row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals cell 1 fourth times 4 x to the power of 4 minus 1 end exponent plus 1 half times 2 x to the power of 2 minus 1 end exponent minus 4 times 1 x to the power of 1 minus 1 end exponent plus 0 end cell row blank equals cell x cubed plus x minus 4 end cell end table

Nilai x yang memenuhi f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell x cubed plus x minus 4 end cell equals 0 end table

Dengan menggunakan cara horner, f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 apabila dibagi dengan open parentheses x minus 1 comma 379 close parentheses, diperoleh sisa sebagai berikut.

Error converting from MathML to accessible text.

f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 dibagi dengan open parentheses x minus 1 comma 379 close parentheses sisanya 0, maka berdasarkan teorema faktor, open parentheses x minus 1 comma 379 close parentheses merupakan faktor dari f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 sehingga dapat dituliskan:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses x close parentheses end cell equals 0 row cell x cubed plus x minus 4 end cell equals 0 row cell open parentheses x minus 1 comma 379 close parentheses open parentheses x squared plus 1 comma 379 x plus 2 comma 9 close parentheses end cell equals 0 end table

x equals 1 comma 379  atau  x squared plus 1 comma 379 x plus 2 comma 9 equals 0

Kemudian, diskriminan dari x squared plus 1 comma 379 x plus 2 comma 9 equals 0 sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row D equals cell b squared minus 4 a c end cell row blank equals cell open parentheses 1 comma 379 close parentheses squared minus 4 times 1 times open parentheses 2 comma 9 close parentheses end cell row blank equals cell 1 comma 9 minus 11 comma 6 end cell row blank equals cell negative 9 comma 7 space space space less than 0 end cell end table

Dikarenakan diskriminan dari x squared plus 1 comma 379 x plus 2 comma 9 equals 0 kurang dari 0, maka persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian, sehingga pada saat f apostrophe open parentheses x close parentheses equals 0 nilai x yang memenuhi yaitu hanya x equals 1 comma 379.

Kemudian, uji titik saat x less than 1 comma 379 dan x greater than 1 comma 379.

Saat x less than 1 comma 379

Pilih x equals 0, maka diperoleh:

 table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses 0 close parentheses end cell equals cell 0 cubed plus 0 minus 4 end cell row blank equals cell negative 4 space less than 0 end cell end table

Berdasarkan uji di atas, maka pada saat x less than 1 comma 379f apostrophe open parentheses x close parentheses less than 0.

Saat x greater than 1 comma 379

Pilih x equals 2, maka diperoleh:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe open parentheses 2 close parentheses end cell equals cell 2 cubed plus 2 minus 4 end cell row blank equals cell 8 plus 2 minus 4 end cell row blank equals cell 6 space greater than 0 end cell end table

Berdasarkan uji di atas, maka pada saat x greater than 1 comma 379f apostrophe open parentheses x close parentheses greater than 0.

Berdasarkan uraian di atas, f apostrophe open parentheses x close parentheses less than 0 saat x less than 1 comma 379f apostrophe open parentheses 1 comma 379 close parentheses equals 0f apostrophe open parentheses x close parentheses greater than 0 saat x greater than 1 comma 379 maka f open parentheses 1 comma 379 close parentheses merupakan nilai minimum. Nilai f open parentheses 1 comma 379 close parentheses sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x close parentheses end cell equals cell 1 fourth x to the power of 4 plus 1 half x squared minus 4 x plus 6 end cell row cell f open parentheses 1 comma 379 close parentheses end cell equals cell 1 fourth open parentheses 1 comma 379 close parentheses to the power of 4 plus 1 half open parentheses 1 comma 379 close parentheses squared minus 4 open parentheses 1 comma 379 close parentheses plus 6 end cell row blank equals cell 1 fourth open parentheses 3 comma 62 close parentheses plus 1 half open parentheses 1 comma 9 close parentheses minus 5 comma 516 plus 6 end cell row blank equals cell 0 comma 905 plus 0 comma 95 minus 5 comma 516 plus 6 end cell row blank equals cell 2 comma 339 end cell end table


Dengan demikian, nilai minimum dari fungsi f open parentheses x close parentheses tersebut adalah f open parentheses 1 comma 3769 close parentheses equals 2 comma 339.

0

Roboguru

Nilai minimum fungsi f(x)=2x3−6x2−48+5 dalam interval −2≤x≤4 adalah ....

Pembahasan Soal:

Terdapat kesalahan pada soal. Fungsi yang tepat adalah begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals 2 x cubed minus 6 x squared minus 48 x plus 5 end style.

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, pertama-tama tentukan nilai stasioner begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis end style

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f apostrophe left parenthesis x right parenthesis end cell equals 0 row cell 6 x squared minus 12 x minus 48 end cell equals 0 row cell x squared minus 2 x minus 8 end cell equals 0 row cell left parenthesis x plus 2 right parenthesis left parenthesis x minus 4 right parenthesis end cell equals 0 row blank blank blank end table end style

begin mathsize 14px style x equals negative 2 space text atau end text space x equals 4 end style 

Terdapat 2 titik stasioner pada interval begin mathsize 14px style negative 2 less or equal than x less or equal than 4 end style.

Untuk begin mathsize 14px style x equals negative 2 end style maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis negative 2 right parenthesis end cell equals cell 2 left parenthesis negative 2 right parenthesis cubed minus 6 left parenthesis negative 2 right parenthesis squared minus 48 left parenthesis negative 2 right parenthesis plus 5 end cell row blank equals cell negative 16 minus 24 plus 96 plus 5 end cell row blank equals 61 end table end style 

Untuk begin mathsize 14px style x equals 4 end style maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f left parenthesis 4 right parenthesis end cell equals cell 2 open parentheses 4 cubed close parentheses minus 6 open parentheses 4 squared close parentheses minus 48 left parenthesis 4 right parenthesis plus 5 end cell row blank equals cell 128 minus 96 minus 192 plus 5 end cell row blank equals cell negative 155 end cell end table end style  

Dengan membandingkan 2 nilai yang didapat, maka nilai minimum fungsi begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals 2 x cubed minus 6 x squared minus 48 plus 5 end style dalam interval begin mathsize 14px style negative 2 less or equal than x less or equal than 4 end style adalah begin mathsize 14px style negative 155 end style.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved