Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh y=x2+3, y=2x+3, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda tersebut adalah ... satuan volume.

Pertanyaan

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh y equals x squared plus 3y equals 2 x plus 3, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-undefined, maka volume dari benda tersebut adalah ... satuan volume.

  1. fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction

  2. begin mathsize 14px style fraction numerator 4 italic pi over denominator 3 end fraction end style

  3. begin mathsize 14px style fraction numerator 8 italic pi over denominator 3 end fraction end style

  4. begin mathsize 14px style fraction numerator 56 italic pi over denominator 3 end fraction end style

  5. begin mathsize 14px style fraction numerator 184 italic pi over denominator 5 end fraction end style

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui daerah tersebut dibatasi oleh y equals x squared plus 3y equals 2 x plus 3, dan berada pada kuadran I.

Akan ditentukan terlebih dahulu interval daerahnya.

Misal begin mathsize 14px style italic y subscript 1 equals italic x squared plus 3 end style dan begin mathsize 14px style italic y subscript 2 equals 2 italic x plus 3 end style, maka titik potongnya dapat ditentukan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y subscript 1 end cell equals cell y subscript 2 end cell row cell x squared plus 3 blank end cell equals cell 2 x plus 3 end cell row cell x squared minus 2 x end cell equals 0 row cell x open parentheses x minus 2 close parentheses end cell equals 0 row cell x text = end text 0 blank atau blank x end cell equals 2 end table

Didapat interval dari daerah di antara kedua kurva tersebut adalah 0 less or equal than x less or equal than 2.

Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putarnya adalah sumbu-undefined. Namun, interval yang didapat masih dalam variabel undefined. Dalam kasus ini, intervalnya akan diubah ke dalam variabel undefined, yaitu dengan subtitusi batas yang sudah didapat ke dalam fungsi manapun.

Perhatikan bahwa pada begin mathsize 14px style 0 less or equal than italic x less or equal than 2 end style, batas bawah interval adalah begin mathsize 14px style 0 end style, dan batas atasnya adalah begin mathsize 14px style 2 end style. Dengan demikian, substitusi begin mathsize 14px style x equals 0 end style dan begin mathsize 14px style x equals 2 end style ke salah satu fungsi, misal begin mathsize 14px style y equals x squared plus 3 end style sehingga didapat hasil sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 0 squared plus 3 end cell row y equals 3 end table

dan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 squared plus 3 end cell row y equals 7 end table

Didapat interval baru yaitu begin mathsize 14px style 3 less or equal than italic y less or equal than 7 end style. Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut.

Kemudian, bentuk undefined akan diubah menjadi undefined, yaitu sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared plus 3 end cell row cell y minus 3 end cell equals cell x squared end cell row cell plus-or-minus square root of y minus 3 end root end cell equals x end table

dan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x plus 3 end cell row cell y minus 3 end cell equals cell 2 x end cell row cell fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction end cell equals x end table

Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh undefined mengelilingi sumbu-y, maka volume terbesar yang terbentuk berasal dari kurva x equals plus-or-minus square root of y minus 3 end root dan yang terkecil berasal dari kurva begin mathsize 14px style italic x equals fraction numerator italic y minus sign 3 over denominator 2 end fraction end style.

Oleh karena itu, volume dari daerah di antara kedua kurva dapat dihitung sebagai berikut.

begin mathsize 14px style V equals pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end style

dengan f left parenthesis y right parenthesis equals plus-or-minus square root of y minus 3 end root dan begin mathsize 14px style g left parenthesis y right parenthesis equals fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction end style.

Perhatikan perhitungan berikut!

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses open parentheses plus-or-minus square root of y minus 3 end root close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses y minus 3 minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared over 4 close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 integral subscript 3 superscript 7 open parentheses 4 open parentheses y minus 3 close parentheses minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared close parentheses space d y end cell end table

Dengan metode integral substitusi, didapat hasil sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell pi over 4 integral subscript 3 superscript 7 open parentheses 4 open parentheses y minus 3 close parentheses minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 open square brackets 4 over 2 open parentheses y minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses y minus 3 close parentheses cubed close square brackets subscript 3 superscript 7 end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 4 over 2 open parentheses 7 minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses 7 minus 3 close parentheses cubed close parentheses minus close end cell row blank blank cell open open parentheses 4 over 2 open parentheses 3 minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses 3 minus 3 close parentheses cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 4 over 2 times 4 squared minus 1 third times 4 cubed close parentheses minus open parentheses 4 over 2 times 0 squared minus 1 third times 0 cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 32 minus 64 over 3 close parentheses minus 0 close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses 32 minus 64 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses 32 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 8 pi over denominator 3 end fraction end cell end table

Dengan demikian, volume dari benda tersebut adalah begin mathsize 14px style fraction numerator 8 italic pi over denominator 3 end fraction end style satuan volume.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y=2x2​+1 dan garis y=3. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda yang akan terbentuk adalah … ...

0

Roboguru

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y=2x2+1,y=2x+1, dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-y, maka volume dari benda yang akan terbentuk ada...

0

Roboguru

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y=2x2−1, garis x=1, dan garis y=1. Jika daerah tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-, maka volume dari benda yang akan terbentuk...

0

Roboguru

Perhatikan gambar berikut ini! Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y=−21​x2+8 dengan interval pada sumbu-x yang diketahui adalah 1≤x≤2. Jika daerah tersebut diputar sejauh ...

0

Roboguru

Perhatikan gambar di bawah ini! Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=20, kurva x=y2, dan sumbu-y. Jika benda tersebut diputar sejauh 360∘ mengelilingi sumbu-, maka...

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved