Pertanyaan

Diberikan suatu daerahyang dibatasi oleh y = x 2 + 3 , y = 2 x + 3 ,dan berada pada kuadran I. Jika daerahtersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- y , maka volume dari benda tersebut adalah ...satuan volume.

Diberikan suatu daerah yang dibatasi oleh $y = x^{2} + 3$ , $y = 2 x + 3$ , dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh $36 0^{\circ}$ mengelilingi sumbu- $y$ , maka volume dari benda tersebut adalah ... satuan volume.

$fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 4 italic pi over denominator 3 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 8 italic pi over denominator 3 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 56 italic pi over denominator 3 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator 184 italic pi over denominator 5 end fraction end style$

E. Thania

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepatadalah C.

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut! Diketahui daerahtersebut dibatasi oleh , ,dan berada pada kuadran I. Akan ditentukan terlebih dahulu interval daerahnya. Misal dan , makatitik potongnya dapat ditentukan sebagai berikut. Didapat interval dari daerah di antara kedua kurva tersebut adalah . Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putarnya adalah sumbu- . Namun, interval yang didapat masih dalam variabel . Dalam kasus ini, intervalnya akan diubah ke dalam variabel , yaitudengan substitusibatas yang sudah didapat ke dalam fungsi manapun. Perhatikan bahwa pada , batas bawah interval adalah , dan batas atasnya adalah . Dengan demikian, substitusi dan ke salah satu fungsi, misal sehinggadidapat hasil sebagai berikut. dan Didapat interval baruyaitu . Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut. Kemudian, bentuk akan diubah menjadi , yaitu sebagai berikut. dan Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh mengelilingi sumbu- ,maka volume terbesar yang terbentukberasal dari kurva dan yang terkecil berasal dari kurva . Oleh karena itu, volume dari daerah di antara kedua kurva dapat dihitung sebagai berikut. dengan dan . Perhatikan perhitungan berikut! Dengan metode integral substitusi, didapat hasil sebagai berikut. Dengan demikian,volume dari benda tersebut adalah satuan volume. Jadi, jawaban yang tepatadalah C.

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui daerah tersebut dibatasi oleh y equals x squared plus 3 , y equals 2 x plus 3 , dan berada pada kuadran I.

Akan ditentukan terlebih dahulu interval daerahnya.

Misal dan , maka titik potongnya dapat ditentukan sebagai berikut.

Didapat interval dari daerah di antara kedua kurva tersebut adalah 0 less or equal than x less or equal than 2 .

Selanjutnya, perhatikan bahwa sumbu putarnya adalah sumbu-. Namun, interval yang didapat masih dalam variabel . Dalam kasus ini, intervalnya akan diubah ke dalam variabel , yaitu dengan substitusi batas yang sudah didapat ke dalam fungsi manapun.

Perhatikan bahwa pada , batas bawah interval adalah , dan batas atasnya adalah . Dengan demikian, substitusi dan ke salah satu fungsi, misal sehingga didapat hasil sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 0 squared plus 3 end cell row y equals 3 end table

dan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 squared plus 3 end cell row y equals 7 end table

Didapat interval baru yaitu . Interval inilah yang akan dipakai untuk menghitung volume benda putar tersebut.

Kemudian, bentuk akan diubah menjadi , yaitu sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared plus 3 end cell row cell y minus 3 end cell equals cell x squared end cell row cell plus-or-minus square root of y minus 3 end root end cell equals x end table

dan

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 2 x plus 3 end cell row cell y minus 3 end cell equals cell 2 x end cell row cell fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction end cell equals x end table$

Kemudian, perhatikan bahwa jika kedua kurva tersebut diputar sejauh mengelilingi sumbu-, maka volume terbesar yang terbentuk berasal dari kurva x equals plus-or-minus square root of y minus 3 end root dan yang terkecil berasal dari kurva $begin mathsize 14px style italic x equals fraction numerator italic y minus sign 3 over denominator 2 end fraction end style$ .

Oleh karena itu, volume dari daerah di antara kedua kurva dapat dihitung sebagai berikut.

dengan f left parenthesis y right parenthesis equals plus-or-minus square root of y minus 3 end root dan $begin mathsize 14px style g left parenthesis y right parenthesis equals fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction end style$ .

Perhatikan perhitungan berikut!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses open parentheses f left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared minus open parentheses g left parenthesis y right parenthesis close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses open parentheses plus-or-minus square root of y minus 3 end root close parentheses squared minus open parentheses fraction numerator y minus 3 over denominator 2 end fraction close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi integral subscript 3 superscript 7 open parentheses y minus 3 minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared over 4 close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 integral subscript 3 superscript 7 open parentheses 4 open parentheses y minus 3 close parentheses minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared close parentheses space d y end cell end table$

Dengan metode integral substitusi, didapat hasil sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell pi over 4 integral subscript 3 superscript 7 open parentheses 4 open parentheses y minus 3 close parentheses minus open parentheses y minus 3 close parentheses squared close parentheses space d y end cell row blank equals cell pi over 4 open square brackets 4 over 2 open parentheses y minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses y minus 3 close parentheses cubed close square brackets subscript 3 superscript 7 end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 4 over 2 open parentheses 7 minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses 7 minus 3 close parentheses cubed close parentheses minus close end cell row blank blank cell open open parentheses 4 over 2 open parentheses 3 minus 3 close parentheses squared minus 1 third open parentheses 3 minus 3 close parentheses cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 4 over 2 times 4 squared minus 1 third times 4 cubed close parentheses minus open parentheses 4 over 2 times 0 squared minus 1 third times 0 cubed close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses open parentheses 32 minus 64 over 3 close parentheses minus 0 close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses 32 minus 64 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell pi over 4 open parentheses 32 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 8 pi over denominator 3 end fraction end cell end table$

Dengan demikian, volume dari benda tersebut adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator 8 italic pi over denominator 3 end fraction end style$ satuan volume.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan gambar di bawah ini! Diberikan suatu daerah di kuadran Iyang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 20 , kurva x = y 2 , dan sumbu- y . Jika benda tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelil...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan suatu daerahyang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 + 1 , y = 2 x + 1 , dan berada pada kuadran I. Jika daerah tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- y , maka volume dari benda yang a...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 − 1 , garis x = 1 , dan garis y = 1 . Jika daerahtersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- , maka volume dari benda yang...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 , y = 5 x 2 , dan garis y = 3 . Jika daerah tersebut diputar sejauh 36 0 ∘ mengelilingi sumbu- y , maka volume dari benda yang te...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut ini! Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = − 2 1 x 2 + 8 denganinterval pada sumbu- x yang diketahui adalah 1 ≤ x ≤ 2 . Jika daerah tersebu...

0.0

Jawaban terverifikasi