Diberikan sebuah kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Diketahui panjang rusuk kubus tersebut adalah 8 cm. Titik P dan Q berturut-turut terletak pada pertengahan rusuk BC dan AE. Nilai cosinus sudut yang dibentuk antara ruas garis PQ dan bidang ACGE adalah ....

Pertanyaan

Diberikan sebuah kubus ABCD.EFGH sebagai berikut.

Diketahui panjang rusuk kubus tersebut adalah $\style{font-size:14px}{8\;\mathrm{cm}}$ . Titik P dan Q berturut-turut terletak pada pertengahan rusuk BC dan AE. Nilai cosinus sudut yang dibentuk antara ruas garis PQ dan bidang ACGE adalah .... $\;$

$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 11 over denominator 6 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 22 over denominator 6 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 33 over denominator 6 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 22 over denominator 3 end fraction end style$
$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 23 over denominator 6 end fraction end style$

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut!

Sudut antara ruas garis PQ dan bidang ACGE adalah dengan O adalah proyeksi titik P pada bidang ACGE. Oleh karena itu, segitiga PQO adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik O sehingga berlaku hubungan sebagai berikut.

$cos space angle PQO equals fraction numerator top enclose QO over denominator top enclose QP end fraction$

Selanjutnya, akan dicari panjang ruas garis QO dan panjang ruas garis QP terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa diagonal bidang pada kubus saling tegak lurus sehingga ruas garis BD tegak lurus dengan ruas garis AC.

Kemudian, perhatikan gambar di bawah ini!

Diketahui rusuk kubus , maka panjang bidang diagonal AC adalah .

Akibatnya, diperoleh perhitungan berikut!

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{AO}}&=&\frac34\overline{\mathrm{AC}}\\&=&\frac34\cdot8\sqrt2\\&=&6\sqrt2\;\mathrm{cm}\end{array}$

Kemudian, titik Q membagi rusuk AE menjadi ruas garis AQ dan QE dengan panjang yang sama, yaitu 4 cm sehingga $\overline{\mathrm{AQ}}=4\;\mathrm{cm}$ .

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga OAQ, didapat perhitungan berikut.

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{QO}}^2&=&\overline{\mathrm{QA}}^2+\overline{\mathrm{AO}}^2\\\overline{\mathrm{QO}}^2&=&4^2+\left(6\sqrt2\right)^2\\\overline{\mathrm{QO}}^2&=&16+72\\\overline{\mathrm{QO}}^2&=&88\\\overline{\mathrm{QO}}&=&\pm2\sqrt{22}\end{array}$

Karena panjang ruas garis QO tidak mungkin negatif, didapat $\overline{\mathrm{QO}}=2\sqrt{22}\;\mathrm{cm}$ .

Kemudian, untuk mencari panjang ruas garis QP, perhatikan segitiga siku-siku ABP!

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat perhitungan berikut.

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{AP}}^2&=&\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2\\\overline{\mathrm{AP}}^2&=&8^2+4^2\\\overline{\mathrm{AP}}^2&=&64+16\\\overline{\mathrm{AP}}^2&=&80\\\overline{\mathrm{AP}}&=&\pm4\sqrt5\end{array}$

Karena panjang ruas garis AP tidak mungkin negatif, maka $\overline{\mathrm{AP}}=4\sqrt5\;\mathrm{cm}$ .

Selanjutnya, pandang segitiga siku-siku PAQ!

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, didapat perhitungan berikut.

$\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm{QP}}^2&=&\overline{\mathrm{AQ}}^2+\overline{\mathrm{AP}}^2\\\overline{\mathrm{QP}}^2&=&4^2+\left(4\sqrt5\right)^2\\\overline{\mathrm{QP}}^2&=&16+80\\\overline{\mathrm{QP}}^2&=&96\\\overline{\mathrm{QP}}&=&\pm4\sqrt6\end{array}$

Karena panjang ruas garis QP tidak mungkin negatif, maka $\overline{\mathrm{QP}}=4\sqrt6\;\mathrm{cm}$ .

Oleh karena itu, didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos invisible function application straight angle PQO end cell equals cell fraction numerator top enclose QO over denominator top enclose QP end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 square root of 22 over denominator 4 square root of 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 11 over denominator 2 square root of 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 11 over denominator 2 square root of 3 end fraction cross times fraction numerator square root of 3 over denominator square root of 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator square root of 33 over denominator 6 end fraction end cell end table$

Dengan demikian, nilai cosinus sudut yang dibentuk antara ruas garis PQ dan bidang ACGE adalah $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 33 over denominator 6 end fraction end style$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

528

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH sama dengan 10 cm. Jika P adalah titik tengah CG, maka cosinus sudut yang dibentuk oleh BP dan AFGD adalah ....

100

0.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm . Titik P dan Q berturut-turut terletak pada petengahan rusuk BC dan AE. Cosinus sudut yang di bentuk antara garis PQ dan bidang ACGE adalah ….

124

0.0

Jawaban terverifikasi

Nilai cosinus sudut antara AG dan bidang BDHF pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm adalah ….

138

0.0

Jawaban terverifikasi

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 8 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai cos = ...

4.0

Jawaban terverifikasi

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 10 cm. Jika P adalah titik tengah CG, maka cosinus sudut antara PB dan AFGD adalah ….

140