Pertanyaan

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah: b. P n ≡ i = 1 ∑ n ( 2 i − 1 ) ( 2 i + 1 ) = 3 4 n 3 + 6 n 2 − n

Dengan menggunakan prinsip induksi matematika, buktikanlah:

b. $P_{n} \equiv i = 1 \sum n (2 i - 1) (2 i + 1) = \frac{4 n ^{3} + 6 n ^{2} - n}{3}$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Untuk n = 1 maka Asumsikan benar untuk n = k Sehingga diperoleh: i = 1 ∑ k ( 2 i − 1 ) ( 2 i + 1 ) = 3 4 k 3 + 6 k 2 − k Untuk n = k+1 maka Akan dibuktikan Jadi terbukti menggunkaan induksi matematika karena hasilnya sama

Untuk n = 1 maka

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from straight i equals 1 to 1 of left parenthesis 2.1 minus 1 right parenthesis left parenthesis 2.1 plus 1 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator 4.1 cubed plus 6.1 squared minus 1 over denominator 3 end fraction end cell row cell 1.3 end cell equals cell fraction numerator 4.1 plus 6.1 minus 1 over denominator 3 end fraction end cell row 3 equals cell 3 rightwards arrow terbukti end cell end table$

Asumsikan benar untuk n = k Sehingga diperoleh:

$i = 1 \sum k (2 i - 1) (2 i + 1) = \frac{4 k ^{3} + 6 k ^{2} - k}{3}$

Untuk n = k+1 maka

Akan dibuktikan

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from straight i equals 1 to straight k plus 1 of left parenthesis 2 straight i minus 1 right parenthesis left parenthesis 2 straight i plus 1 right parenthesis end cell equals cell sum from straight i equals 1 to straight k of left parenthesis 2 straight i minus 1 right parenthesis left parenthesis 2 straight i plus 1 right parenthesis plus sum from straight i equals straight k plus 1 to straight k plus 1 of left parenthesis 2 straight i minus 1 right parenthesis left parenthesis 2 straight i plus 1 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator 4 straight k cubed plus 6 straight k squared minus straight k over denominator 3 end fraction plus open parentheses 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses minus 1 close parentheses open parentheses 2 open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 4 straight k cubed plus 6 straight k squared minus straight k over denominator 3 end fraction plus open parentheses 2 straight k plus 2 minus 1 close parentheses open parentheses 2 straight k plus 2 plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 4 straight k cubed plus 6 straight k squared minus straight k over denominator 3 end fraction plus open parentheses 4 straight k squared plus 8 straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 4 straight k cubed plus 6 straight k squared minus straight k plus 12 straight k squared plus 24 straight k plus 9 over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 4 straight k cubed plus 18 straight k squared plus 23 straight k plus 9 over denominator 3 end fraction rightwards arrow terbukti space end cell end table$

Jadi $straight P subscript straight n identical to sum from straight i equals 1 to straight n of left parenthesis 2 straight i minus 1 right parenthesis left parenthesis 2 straight i plus 1 right parenthesis equals fraction numerator 4 straight n cubed plus 6 straight n squared minus straight n over denominator 3 end fraction$ terbukti menggunkaan induksi matematika karena hasilnya sama

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

132

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut : 1) 2) Menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

2.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan runtunan nilai yang didefinisikan sebagai berikut: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua pasangan bilangan bulat ( m , n ) selalu berlaku: S m , n = 2 ( m + n ) + 1 .

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan pernyataan berikut! P n : 3 2 + 9 2 + 27 2 + ⋯ + 3 n 2 = 2 − 3 n 1 untuk setiap bilangan asli n . Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika , maka pernyataan P k + 1 yang benar adalah ....

4.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan bahwa: b. P n ≡ 2 × 4 1 + 4 × 6 1 + ... + ( 2 n ) ( 2 n + 2 ) 1 = 4 ( n + 1 ) n

1.0

Jawaban terverifikasi