Roboguru

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut. cosA+cosB+cosC=1+4sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pertanyaan

Dalam segitiga ABC, tunjukkan kebenaran setiap permasalahan berikut.

cosA+cosB+cosC=1+4sin(2A)sin(2B)sin(2C)

 

Pembahasan Soal:

Ingat rumus sudut ganda serta jumlah dan selisih trigonometri berikut ini:

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

cosA=12sin2(2A)

Dengan menggunakan konsep di atas, diperoleh hasil:

cosA+cosB+cosC=(cosA+cosB)+cosC=(2cos21(A+B)cos21(AB))+(12sin22C)(Ingatrumussudutgandacosinus)=(2cos21(180C)cos21(AB))+(12sin22C)(A,B,CsudutdalamsegitigasehinggaA+B+C=180)=(2cos(902C)cos(2AB))+(12sin22C)(cos(180C)=cosC)=(2sin(2C)cos(2AB))+(12sin22C)(Ingatcos(902C)=sin(2C))=2sin(2C)cos(2AB)+12sin22C=1+2sin(2C)(cos(2AB)sin(2C))=1+2sin(2C)(cos(2AB)sin21(180(A+B)))(A,B,CsudutdalamsegitigasehinggaC=180(A+B))=1+2sin(2C)(cos(2AB)sin(90(2A+B)))(Ingatsin(902(A+B))=cos2(A+B))=1+2sin(2C)(cos(2AB)cos(2A+B))=1+2sin(2C)(2sin21(2AB+2A+B)sin21(2AB2A+B))=1+2sin(2C)(2sin21(22A)sin21(22B))=1+2sin(2C)(2sin21(A)sin21(B))=1+2sin(2C)(2sin(2A)sin(2B))=1+2sin(2C)(2sin(2A))(sin(2B))=1+22sin(2C)sin(2A)sin(2B)=1+4sin(2A)sin(2B)sin(2C)


Jadi, dalam ABC dapat ditunjukkan bahwa cosA+cosB+cosC=1+4sin(2A)sin(2B)sin(2C).

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Tentukan himpunan penyelesaian tiap persamaan berikut untuk . b.

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa:

  • Kalimat yang memuat variabel sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) disebut kalimat terbuka.
  • Persamaan akan menjadi kalimat benar hanya jika variabel diganti dengan suatu bilangan. Dengan demikian, jika variabel tersebut diganti dengan bilangan lain akan menjadi kalimat salah.
  • Setiap persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.
  • Menambah atau mengurang kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama bertujuan agar dalam satu ruas persamaan terdapat variabel saja atau bilangan konstan saja.
  • Untuk menye1esaikan suatu persamaan, usahakan agar variabel terletak dalam satu ruas (biasanya di ruas kiri), sedangkan bilangan tetap (konstan) di ruas yang lain.
  • table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a plus b end cell equals c row cell a plus b minus b end cell equals cell c minus b end cell row a equals cell c minus b end cell row blank blank blank row cell a minus b end cell equals c row cell a minus b plus b end cell equals cell c plus b end cell row a equals cell c plus b end cell end table 

Persamaan x plus 16 equals 7.
Penyelesaian:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 16 end cell equals cell negative 7 end cell row cell x plus 16 minus 16 end cell equals cell negative 7 minus 16 end cell row x equals cell negative 23 end cell end table  
(kedua ruas dikurang 16 agar ruas kiri tidak memuat 16)

Sehingga, penyelesaiannya adalah x equals negative 23.

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut adalah x equals negative 23.

Roboguru

Jika  sudut di dalam segitiga, buktikan bahwa:

Pembahasan Soal:

Ingat : 

  • Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 
  • cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB) 
  • cos(180A)=cosA 
  • cos2A=12sin2A 
  • cosAcosB=2sin21(AB)sin21(AB) 

Perhatikan perhitungan berikut 

 A+B+CC==180180(A+B) 

Shingga 

cosα+cosβ+cosγ=(cosα+cosβ)+cosγ=2cos21(α+β)cos21(αβ)+(12sin22γ)=2cos21(180γ)cos21(αβ)+12sin22γ=2cos(902γ)cos21(αβ)2sin22γ+1=2sin(2γ)cos21(αβ)2sin22γ+1=2sin(2γ){cos21(αβ)sin21(180(α+β))}+1=2sin(2γ){cos21(αβ)sin(9021(α+β))}+1=2sin(2γ){cos21(αβ)cos(21(α+β))}+1=2sin(2γ){cos(21α21β)cos(21α+21β)}+1=2sin(2γ){2sin21((21α21β)+(21α+21β))sin(21(21α21β)(21α+21β))}+1=2sin(2γ){2sin21(α)sin21(β)}+1=2sin(2γ){2sin21(α)sin21(β)}+1=4sin(2γ)sin(2α)sin(2β)+1=1+4sin(2α)sin(2β)sin(2γ)   

Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C​=8sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

sinA+sinBcosA+cosB==2cos21(A+B)cos21(AB)2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

sin(360α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Sudut rangkap pada cosinus

cos2A1cos2A==12sin2A2sin2A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CCcos2Csin2Csin2CsinC===========180180(A+B)cos(2180(A+B))cos(902(A+B))sin(2A+B)sin2(180(A+B))sin(3602(A+B))sin2(A+B)sin(2180(A+B))sin(902(A+B))cos(2A+B)

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari Sin2A+sin2B+sin2C

sin2A+sin2B+sin2C===========sin2A+sin2Bsin2(A+B)sin2A+sin2Bsin(2A+2B)sin2A+sin2B(sin2Acos2B+cos2Asin2B)sin2Asin2Acos2B+sin2Bcos2Asin2Bsin2A(1cos2B)+sin2B(1cos2A)2sinAcosA2sin2B+2sinBcosB2sin2A4sinAsinB[cosAsinB+cosBsinA]4sinAsinB[sinAcosB+cosAsinB]4sinAsinB[sin(A+B)]4sinAsinBsin(180C)4sinAsinBsinC

Kemudian akan dicari hasil dari sinA+sinB+sinC

sinA+sinB+sinC=======(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C(cos(2AB)+sin2C)2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos(42A)cos(42B))4cos2Acos2Bcos2C

Maka

sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C===4cos2Acos2Bcos2C4sinAsinBsinC4cos2Acos2Bcos2C42sin2Acos2A2sin2Bcos2B2sin2Ccos2C8sin(2A)sin(2B)sin(2C)(terbukti) 

Dengan demikian terbukti bahwa sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C=8sin(2A)sin(2B)sin(2C)

 

Roboguru

Hitunglah b. cos215∘−cos275∘

Pembahasan Soal:

Akan dicari cos2(15)cos2(75)

Ingat bahwa

a2b2=(a+b)(ab)cosAcosB=2sin21(A+B)sin21(AB)cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB) 

Diperoleh perhitungan

=========cos2(15)cos2(75)(cos15+cos75)(cos15cos75)(2cos21(15+75)cos21(1575))(2sin21(15+75)sin21(1575))(2cos21(90)cos21(60))(2sin21(90)sin21(60))(2cos(45)cos(30))(2sin(45)sin(30))(2212213)(221221)2621241124123213 

Dengan demikian, diperoleh cos2(15)cos2(75)=213

Roboguru

Jika A+B+C=π, tunjukkan bahwa   cos(2A​)+cos(2B​)+cos(2C​)=4cos(4π+A​)cos(4π+B​)cos(4π−C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah Trigonometri yaitu

cosA+cosB=2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut relasi di kuadran I pada sinus dan cosinus

sin(90α)cos(a)==cosαcosα

Nilai cos di kuadran II dan kuadran III adalah sama

cos(πA)=cos(π+A)

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CA+BCcos2C======ππC180(A+B)cos21(180(A+B))cos(2π2(A+B))sin(2A+B)

Sehingga 

cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=(cos(2A)+cos(2B))+cos(2C)=(2cos21(2A+2B)cos21(2A2B))+sin(2A+B)=(2cos(4A+B)cos(4AB))+2sin(4A+B)cos(4A+B)=2cos(4A+B)[cos(4AB)+sin(4A+B)]=2cos(4πC)[cos(4AB)+cos(2π4A+B)]=2cos(4πC)[cos(4AB)+cos(42π4(A+B))]=2cos(4πC)[2cos21(4AB+4(2πAB))cos21(4AB4(2πAB))]=2cos(4πC)[2cos21(42π2B)cos21(42A2π)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4Aπ)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4πA)]=2cos(4πC)[2cos(4πB)cos(4πA)]=4cos(4π+A)cos(4π+B)cos(4πC)(terbukti)

Dengan demikian benar bahwa cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=4cos(4π+A)cos(4π+B)cos(4πC)

 

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved