Pertanyaan

Dalam sebuah kantong terdapat m bola putih dan n bola merah dengan m n = 120 dan m < n . Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah 7 5 maka nilai m + n = ....

$34$
$26$
$23$
$22$
$21$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Untuk menjawa soal di atas gunakan konsep Combinasi yang dirumuskan dalam C r n = ( n − r )! ⋅ r ! n ! . Dalam sebuah kantong terdapat m bola putih dan n bola merah dengan m n = 120 dan m < n . Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah 7 5 . Dari dalam kantong terdapat ( m + n ) bola dan akan diambil 2 bola sekaligus. Banyaknya seluruh kemungkinan yang terjadi adalah n ( s ) = = = = m + n C 2 ( m + n − 2 )! ⋅ 2 ! ( m + n )! ( m + n − 2 )! ⋅ 2 ⋅ 1 ( m + n ) ⋅ ( m + n − 1 ) ⋅ ( m + n − 2 )! 2 ( m + n ) ⋅ ( m + n − 1 ) Misalkan kejadian E adalah kejadian terambilnya paling sedikit satu bola putih dimana pengambilan 2 putih sekaligus atau satu putih dan satu merah. n ( E ) = = = = = = m C 2 + m C 1 ⋅ n C 1 ( m − 2 )! ⋅ 2 ! m ! + ( m − 1 )! ⋅ 1 ! m ! ⋅ ( n − 1 )! ⋅ 1 ! n ! ( m − 2 )! ⋅ 2 ⋅ 1 m ( m − 1 ) ( m − 2 )! + ( m − 1 )! ⋅ 1 m ( m − 1 )! ⋅ ( n − 1 )! ⋅ 1 n ( n − 1 )! 2 m ( m − 1 ) + m ⋅ n 2 m ( m − 1 ) + 120 2 m ( m − 1 ) + 240 Peluang kejadian E adalah 7 5 maka berlaku: P ( E ) = n ( s ) n ( E ) 7 5 = 2 ( m + n ) ( m + n − 1 ) 2 m ( m − 1 ) + 240 Selanjutnya diberikan bahwa m n = 120 dan m < n . Maka, dari pilihan jawaban yang disediakan kemungkinan jawabannya adalah ( m = 10 , n = 12 ) , ( m = 5 , n = 24 ) d an ( m = 2 , n = 60 ) . Selanjutnya tinggal kita ujikanketiga kemungkinan di atas,yang menghasilkan 7 5 . Maka untuk m = 10 , n = 12 diperoleh P ( E ) = = = = = = = = n ( s ) n ( E ) ( m + n ) ( m + n − 1 ) m ( m − 1 ) + 240 ( 10 + 12 ) ( 10 + 12 − 1 ) 10 ( 10 − 1 ) + 240 ( 22 ) ( 21 ) 10 ( 9 ) + 240 22 ( 21 ) 90 + 240 22 ( 21 ) 330 2 ( 21 ) 30 7 5 Maka m = 10 dan n = 12 maka m + n = 10 + 12 = 22 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Untuk menjawa soal di atas gunakan konsep Combinasi yang dirumuskan dalam $C_{r}^{n} = \frac{n !}{( n - r )! \cdot r !}$ .

Dalam sebuah kantong terdapat $m$ bola putih dan $n$ bola merah dengan $m n = 120$ dan $m < n$ . Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $\frac{5}{7}$ . Dari dalam kantong terdapat $(m + n)$ bola dan akan diambil $2$ bola sekaligus. Banyaknya seluruh kemungkinan yang terjadi adalah

$n (s) = = = =_{m + n} C_{2} \frac{( m + n )!}{( m + n - 2 )! \cdot 2 !} \frac{( m + n ) \cdot ( m + n - 1 ) \cdot ( m + n - 2 )!}{( m + n - 2 )! \cdot 2 \cdot 1} \frac{( m + n ) \cdot ( m + n - 1 )}{2}$

Misalkan kejadian E adalah kejadian terambilnya paling sedikit satu bola putih dimana pengambilan 2 putih sekaligus atau satu putih dan satu merah.

$n (E) = = = = = =_{m} C_{2} +_{m} C_{1} \cdot_{n} C_{1} \frac{m !}{( m - 2 )! \cdot 2 !} + \frac{m !}{( m - 1 )! \cdot 1 !} \cdot \frac{n !}{( n - 1 )! \cdot 1 !} \frac{m ( m - 1 ) ( m - 2 )!}{( m - 2 )! \cdot 2 \cdot 1} + \frac{m ( m - 1 )!}{( m - 1 )! \cdot 1} \cdot \frac{n ( n - 1 )!}{( n - 1 )! \cdot 1} \frac{m ( m - 1 )}{2} + m \cdot n \frac{m ( m - 1 )}{2} + 120 \frac{m ( m - 1 ) + 240}{2}$

Peluang kejadian E adalah $\frac{5}{7}$ maka berlaku:

$P (E) = \frac{n ( E )}{n ( s )} \frac{5}{7} = \frac{\frac{m ( m - 1 ) + 240}{2}}{\frac{( m + n ) ( m + n - 1 )}{2}}$

Selanjutnya diberikan bahwa $m n = 120$ dan $m < n$ . Maka, dari pilihan jawaban yang disediakan kemungkinan jawabannya adalah $(m = 10, n = 12), (m = 5, n = 24) d an (m = 2, n = 60)$ .

Selanjutnya tinggal kita ujikan ketiga kemungkinan di atas, yang menghasilkan $\frac{5}{7}$ . Maka untuk $m = 10, n = 12$ diperoleh

$P (E) = = = = = = = = \frac{n ( E )}{n ( s )} \frac{m ( m - 1 ) + 240}{( m + n ) ( m + n - 1 )} \frac{10 ( 10 - 1 ) + 240}{( 10 + 12 ) ( 10 + 12 - 1 )} \frac{10 ( 9 ) + 240}{( 22 ) ( 21 )} \frac{90 + 240}{22 ( 21 )} \frac{330}{22 ( 21 )} \frac{30}{2 ( 21 )} \frac{5}{7}$

Maka $m = 10 dan n = 12 maka m + n = 10 + 12 = 22$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

118

5.0 (4 rating)

Lubna Rahmatul Apriliani

Mudah dimengerti

Pertanyaan serupa

Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan A adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Lima orang A , B , C , D , dan E duduk megitari meja bundar. Setiap kursi diberi nomor. Peluang A dan B duduk bersebelahan adalah ....

237

4.3

Jawaban terverifikasi

Di dalam sebuah kotak terdapat m bola merah dan m bola putih. Jika dua bola diambil sekaligus secara acak dari dalam kotak, maka peluang terambil bola tersebut dengan warna sama adalah 9 4 . Nilai m...

149

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui di dalam sebuah kotak terdapat 3 kartu merah, 5 kartu hijau, dan 2 kartu kuning. Pertama diambil satu kartu secara acak dan tidak dikembalikan. Setelah itu, diambil satu kartu lagi secara ac...

4.2

Jawaban terverifikasi

Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka 7 dalam tiga kali pelantunan dadu adalah .... (Soal SIMAK UI)

4.7

Jawaban terverifikasi