Roboguru

Daerah D dibatasi oleh kurva  dan garis  serta sumbu , jika daerah D diputar  mengelilingi sumbu , volume benda putar yang terbentuk adalah ...

Pertanyaan

Daerah D dibatasi oleh kurva y equals x squared dan garis x equals 1 serta sumbu x, jika daerah D diputar 360 degree mengelilingi sumbu x, volume benda putar yang terbentuk adalah ...

Pembahasan Soal:

Terlebih dahulu kita gambar grafik tersebut, agar kita mengetahui daerahnya, sehingga kita bisa menentukan batas integralnya. Seperti pada gambar berikut.

Daerah kita adalah daerah yang berwarna merah.

volume equals integral subscript x subscript 1 end subscript superscript x subscript 2 end superscript y squared d x space space space space space space space space space space space space equals integral subscript 0 superscript 1 open parentheses x squared close parentheses squared d x space space space space space space space space space space space space equals integral subscript 0 superscript 1 x to the power of 4 d x space space space space space space space space space space space space equals right enclose 1 fifth x to the power of 5 end enclose subscript 0 superscript 1 space space space space space space space space space space space space equals open parentheses 1 fifth.1 cubed close parentheses minus open parentheses 1 fifth.0 cubed close parentheses space space space space space space space space space space space space equals 1 fifth space satuan space volume   

Jadi, volume benda putar tersebut adalah 1 fifth satuan volume.

 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

L. Marlina

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Terakhir diupdate 03 Mei 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva jika diputar mengelilingi sumbu-X sejauh adalah....

Pembahasan Soal:

i right parenthesis M e n g g a m b a r space k u r v a

i i right parenthesis M e n e n t u k a n space t i t i k space p o t o n g space d u a space k u r v a  box enclose y subscript 1 equals y subscript 2  ⟺ x squared equals 2 x  ⟺ x squared minus 2 x equals 0  ⟺ x left parenthesis x minus 2 right parenthesis equals 0  P e m b u l a tan space n o l  ⟺ x equals 0 space logical or space x equals 2  M a k a space p e r p o t o n g a n space d u a space f u n g s i space t e r j a d i space d i space x equals 0 space d a n space x equals 2 end enclose    i i i right parenthesis M e n e n t u k a n space v o l u m e  box enclose K a r e n a space  0 less or equal than x less or equal than 2  M a k a space b a t a s space b a w a h space i n t e g r a l space a d a l a h space n o l comma space d a n space b a t a s space a t a s space a d a l a h space 2 space d a n space g r a f i k space 2 x greater than x squared comma space s e h i n g g a  V equals pi integral subscript 0 superscript 2 open parentheses 2 x close parentheses squared minus open parentheses x squared close parentheses squared space d x  equals pi integral subscript 0 superscript 2 left parenthesis 4 x squared minus x to the power of 4 right parenthesis space d x  equals pi open vertical bar 4 over 3 x cubed minus 1 fifth x to the power of 5 close vertical bar subscript 0 superscript 2  equals pi open parentheses open parentheses 4 over 3 left parenthesis 2 right parenthesis cubed minus 1 fifth left parenthesis 2 right parenthesis to the power of 5 close parentheses minus open parentheses 4 over 3 open parentheses 0 close parentheses cubed minus 1 fifth open parentheses 0 close parentheses to the power of 5 close parentheses close parentheses  equals pi open parentheses 32 over 3 minus 32 over 5 close parentheses  equals 64 over 15 pi end enclose

0

Roboguru

Pembahasan Soal:

Akan space dicari space titik space potong space antara space garis space dan space kurva space terlebih space dahulu  y equals y  x squared equals 2 x  x squared minus 2 x equals 0  x left parenthesis x minus 2 right parenthesis equals 0  x equals 0 space a t a u space x equals 2    M a k a space v o l u m e space d a e r a a h space a d a l a h space colon  V space equals space straight pi space open parentheses integral subscript 0 superscript 2 space left parenthesis left parenthesis space 2 straight x right parenthesis to the power of 2 space end exponent minus space left parenthesis straight x to the power of 2 space end exponent right parenthesis squared space right parenthesis space dx close parentheses  space space space space space equals space straight pi space open parentheses integral subscript 0 superscript 2 left parenthesis space 4 straight x to the power of 2 space end exponent minus space straight x to the power of 4 space end exponent right parenthesis space dx close parentheses  space space space space space equals space straight pi space open parentheses 4 over 3 straight x to the power of 3 space end exponent minus right enclose 1 fifth straight x to the power of 5 end enclose subscript 0 superscript 2 space close parentheses space  space space space space space equals space straight pi space open parentheses 4 over 3 left parenthesis 2 right parenthesis to the power of 3 space end exponent minus space 1 fifth left parenthesis 2 right parenthesis to the power of 5 space minus space 0 space close parentheses  space space space space space space equals straight pi space open parentheses 2 to the power of 5 over 3 minus space 2 to the power of 5 over 5 close parentheses  space space space space space space equals straight pi space. space 2 to the power of 5 space end exponent. space open parentheses 1 third minus space 1 fifth close parentheses  space space space space space space equals 32 space straight pi space open parentheses 2 over 15 close parentheses  space space space space space space equals 64 over 15 space straight pi

0

Roboguru

Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh  dan  diputar mengelilingi sumbu

Pembahasan Soal:

Diketahui kurva begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals negative x squared plus 3 x comma space x equals 0 comma space x equals 3 end style, maka:

begin mathsize 14px style V equals straight pi integral subscript straight b superscript straight a straight f open parentheses straight x close parentheses d straight x V equals straight pi integral subscript 0 superscript 3 open parentheses negative straight x squared plus 3 straight x close parentheses d straight x V equals straight pi open parentheses negative 1 third straight x cubed plus 3 over 2 straight x squared close parentheses 0 with 3 on top V equals straight pi open square brackets open parentheses negative 1 third times 3 cubed plus 3 over 2 times 3 squared close parentheses minus open parentheses negative 1 third times 0 cubed plus 3 over 2 times 0 squared close parentheses close square brackets V equals straight pi open square brackets open parentheses negative 9 plus 27 over 2 times close parentheses minus open parentheses 0 plus 0 close parentheses close square brackets V equals straight pi open parentheses 9 over 2 minus 0 close parentheses V equals straight pi open parentheses 9 over 2 close parentheses V equals 9 over 2 straight pi end style 

Jadi, jawaban yang benar adalah begin mathsize 14px style 9 over 2 straight pi end style.

0

Roboguru

Volume benda putar yang terbentuk karena dibatasi oleh kurva y = 2 cos x diputar sejauh mengelilingi sumbu X pada selang  adalah ...

Pembahasan Soal:

ingat kembali rumus sudut rangkap untuk cos x:

cos space 2 x equals 2 space cos space squared x minus 1  space space space space space space space space a t a u  cos squared x space equals fraction numerator 1 plus cos space 2 x over denominator 2 end fraction  m a k a comma    v o l u m e equals space straight pi integral subscript 0 superscript straight pi over 2 end superscript open parentheses 2 space cos space straight x close parentheses squared dx  space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 4 straight pi integral subscript 0 superscript straight pi over 2 end superscript cos squared straight x space dx  space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 4 straight pi integral subscript 0 superscript straight pi over 2 end superscript open parentheses fraction numerator 1 plus cos space 2 straight x over denominator 2 end fraction close parentheses dx  space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 2 straight pi open parentheses straight x plus 1 half sin space 2 straight x left enclose blank with 0 below and straight pi over 2 on top end enclose close parentheses  space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 2 straight pi open square brackets open parentheses straight pi over 2 minus 1 half sin space straight pi close parentheses minus open parentheses 0 plus 1 half sin space 0 close parentheses close square brackets  space space space space space space space space space space space space space space space space equals space 2 straight pi open parentheses straight pi over 2 close parentheses equals straight pi squared satuan space volume

0

Roboguru

Diberikan suatu daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva , , serta berada pada interval . Jika daerah tersebut diputar sejauh  mengelilingi sumbu-, maka volume dari benda putar yang terbentuk adal...

Pembahasan Soal:

Diketahui suatu daerah berada di kuadran I dan dibatasi oleh kurva begin mathsize 14px style y equals left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared minus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis end stylebegin mathsize 14px style y equals negative left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared plus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis end style, serta berada pada interval begin mathsize 14px style 0 less or equal than italic x less or equal than 4 end style.

Informasi tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

 

Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-Error converting from MathML to accessible text.maka akan terbentuk dua benda putar.

Benda pertama dibatasi oleh kurva begin mathsize 14px style italic y equals open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared minus sign 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses end style, dan benda kedua dibatasi oleh kurva begin mathsize 14px style italic y equals minus sign open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared plus 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses end style.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini!

Akan ditentukan interval daerah dari benda I terlebih dahulu, yaitu dengan cara mencari titik potong dari lingkaran dan kurva.

Perhatikan bahwa batas bawah benda I adalah begin mathsize 14px style x equals 0 end style.

Kemudian, jika begin mathsize 14px style italic y subscript 1 equals open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared minus sign 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses end style, dan begin mathsize 14px style italic y subscript 2 equals minus sign open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared plus 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses comma end style maka titik potongnya adalah

begin mathsize 14px style y subscript 1 equals y subscript 2 left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared minus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis equals negative left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared plus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared plus left parenthesis x minus 1 right parenthesis to the power of 2 end exponent minus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis minus 3 left parenthesis x minus 1 right parenthesis equals 0 2 left parenthesis x minus 1 right parenthesis squared minus 6 left parenthesis x minus 1 right parenthesis equals 0 2 left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 1 minus 3 right parenthesis equals 0 2 left parenthesis x minus 1 right parenthesis left parenthesis x minus 4 right parenthesis equals 0 x equals 1 blank text atau end text blank x equals 4 end style

Didapat interval dari benda I adalah Error converting from MathML to accessible text. 

Kemudian, akan dicari interval daerah dari benda II.

Perhatikan bahwa batas bawahnya adalah titik potong kurva dengan lingkaran, yang sudah didapat sebelumnya yaitu begin mathsize 14px style italic x equals 1 end style. Batas atasnya titik potong kedua, yaitu begin mathsize 14px style italic x equals 4 end style. Diperoleh interval daerah dari benda II adalah begin mathsize 14px style 1 less or equal than italic x less or equal than 4 end style.

Sehingga, volume dari benda yang dimaksud adalah penjumlahan dari volume benda I dan II, atau

begin mathsize 14px style V equals V subscript 1 plus V subscript 2 V equals pi integral subscript 0 superscript 1 open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared space d x plus pi integral subscript 1 superscript 4 open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared space d x V equals pi open parentheses integral subscript 0 superscript 1 open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared space d x plus integral subscript 1 superscript 4 open parentheses g left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared space d x close parentheses end style 

dengan begin mathsize 14px style italic f open parentheses italic x close parentheses equals open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared minus sign 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses end style dan begin mathsize 14px style italic g open parentheses italic x close parentheses equals negative sign open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses squared plus 3 open parentheses italic x minus sign 1 close parentheses end style.

Perhatikan perhitungan berikut ini!

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row V equals cell straight pi open parentheses integral subscript 0 superscript 1 open parentheses straight f left parenthesis straight x right parenthesis close parentheses squared space d straight x plus integral subscript 1 superscript 4 open parentheses straight g left parenthesis straight x right parenthesis close parentheses squared space d straight x close parentheses end cell row blank equals cell straight pi open parentheses integral subscript 0 superscript 1 open parentheses open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared minus 3 open parentheses straight x minus 1 close parentheses close parentheses squared space d straight x plus integral subscript 1 superscript 4 open parentheses negative open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared plus 3 open parentheses straight x minus 1 close parentheses close parentheses squared space d straight x close parentheses end cell row blank equals cell straight pi integral subscript 0 superscript 1 open parentheses open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 4 minus 6 open parentheses straight x minus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared close parentheses space d straight x end cell row blank blank cell plus straight pi integral subscript 1 superscript 4 open parentheses open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 4 minus 6 open parentheses straight x minus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared close parentheses space d straight x end cell row blank equals cell straight pi integral subscript 1 superscript 4 open parentheses open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 4 minus 6 open parentheses straight x minus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared close parentheses space d straight x end cell end table end style 

Dengan melakukan integral substitusi begin mathsize 14px style italic u equals italic x minus sign 1 end style, didapat hasil sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell straight pi integral subscript 1 superscript 4 open parentheses open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 4 minus 6 open parentheses straight x minus 1 close parentheses cubed plus 9 open parentheses straight x minus 1 close parentheses squared close parentheses space d straight x end cell row blank equals cell straight pi open square brackets 1 fifth open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 5 minus 6 over 4 open parentheses straight x minus 1 close parentheses to the power of 4 plus 9 over 3 open parentheses straight x minus 1 close parentheses cubed close square brackets subscript 0 superscript 4 end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 1 fifth open parentheses 4 minus 1 close parentheses to the power of 5 minus 3 over 2 open parentheses 4 minus 1 close parentheses to the power of 4 plus 3 open parentheses 4 minus 1 close parentheses cubed close parentheses end cell row blank blank cell negative straight pi open parentheses 1 fifth open parentheses 0 minus 1 close parentheses to the power of 5 minus 3 over 2 open parentheses 0 minus 1 close parentheses to the power of 4 plus 3 open parentheses 0 minus 1 close parentheses cubed close parentheses end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 1 fifth times 3 to the power of 5 minus 3 over 2 times 3 to the power of 4 plus 3 times 3 cubed close parentheses end cell row blank blank cell negative straight pi open parentheses 1 fifth open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 5 minus 3 over 2 open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 4 plus 3 open parentheses negative 1 close parentheses cubed close parentheses end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 243 over 5 minus 243 over 2 plus 81 close parentheses minus straight pi open parentheses negative 1 fifth minus 3 over 2 minus 3 close parentheses end cell row blank equals cell straight pi open parentheses open parentheses 81 over 10 close parentheses minus open parentheses negative 47 over 10 close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 81 over 10 plus 47 over 10 close parentheses end cell row blank equals cell straight pi times 128 over 10 end cell row blank equals cell fraction numerator 64 straight pi over denominator 5 end fraction end cell end table end style 

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved