Roboguru

Buktikanlah dengan prinsip induksi matematika. (Catatan:n!=n⋅(n−1)...3⋅2⋅1).

Pertanyaan

Buktikanlah dengan prinsip induksi matematika.

begin mathsize 14px style 1 times 1 factorial plus 2 times 2 factorial plus... plus n times n factorial equals open parentheses n plus 1 close parentheses factorial minus 1 end style

(Catatan:n!=n(n1)...321)

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut.

  1. Langkah awal: Dibuktikan P(1) benar.
  2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P(k) benar, maka harus dibuktikan bahwa P(k+1) juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

11!+22!+...+nn!=(n+1)!1

Langkah Awal :

Akan dibuktikan P(n) benar untuk n=1.

11!11111=====(1+1)!12!1211211

Jadi, terbukti bahwa P(1) benar.

Langkah Induksi :

Asumsikan P(k) benar sehingga

11!+22!+...+kk!=(k+1)!1

Akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar, sedemikian sehingga

=11!+22!+...+(k+1)(k+1)!(k+2)!1

Bukti :

======[11!+22!+...+kk!]+(k+1)(k+1)![(k+1)!1]+[(k+1)(k+1)!][(k+1)!+(k+1)(k+1)!]1(k+1)!(1+(k+1))1(k+1)!(k+2)1(k+2)(k+1)!1(k+2)!1

Jadi, terbukti bahwa P(k+1) benar .

Pernyataan P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

P. Anggrayni

Terakhir diupdate 19 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Buktikan kebenaran setiap deret berikut.  c.

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika

Untuk n = 1 maka

1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of 1 equals 1 over 2 to the power of 1 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 half equals 1 half rightwards arrow Terbukti space

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of k equals 1 over 2 to the power of k rightwards arrow Terbukti space

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight n end cell row cell 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight k plus 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 1 over 2 to the power of straight k minus 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell fraction numerator 2 to the power of 1 minus 1 over denominator 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end fraction end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti space end cell end table

Jadi terbukti 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n karena hasil sisi kanan dan kiri sama

 

0

Roboguru

Diketahui  berlaku untuk setiap bilangan bulat n ≥ p. Jika p adalah suatu bilangan bulat, maka nilai minimum yang mungkin untuk p adalah ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell row cell 3 times 8 plus 3 times 16 plus 3 times 32 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell row cell 3 times 2 cubed plus 3 times 2 to the power of 4 plus 3 times 2 to the power of 5 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell end table end style 

Dari bentuk ini, dapat diperhatikan bahwa suku pertama dari bentuk di ruas kiri berbentuk begin mathsize 14px style 3 times 2 to the power of straight n end style dengan = 3 .

Dari informasi ini, dapat dikatakan bahwa kesamaan ini berlaku untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

Untuk menyatakan pernyataan ini benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , akan digunakan pembuktian dengan induksi matematika.

 

Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa undefined untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

 

Perhatikan pernyataan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight n colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight n equals 3 open parentheses 2 to the power of straight n plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 .

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style straight P subscript 3 end style benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan begin mathsize 14px style bold P subscript 3 end style benar.

Perhatikan pernyataan

undefined 

maka

begin mathsize 14px style straight P subscript 3 colon 24 equals 3 open parentheses 2 to the power of 3 plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Ruas kiri : 24

Ruas kanan :

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 open parentheses 2 to the power of 3 plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end cell equals cell 3 open parentheses 2 to the power of 4 minus 8 close parentheses end cell row blank equals cell 3 open parentheses 16 minus 8 close parentheses end cell row blank equals cell 3 times 8 end cell row blank equals 24 end table end style 

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka undefined benar.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan bulat ≥ 3 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined 

Asumsikan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style straight P subscript straight k plus 1 end subscript colon 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses 2 to the power of open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Dari ruas kiri undefined 

begin mathsize 14px style 24 plus 48 plus 96 plus horizontal ellipsis plus 3 times 2 to the power of straight k plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses plus 3 times 2 to the power of straight k plus 1 end exponent equals 3 open parentheses open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses plus 2 to the power of straight k plus 1 end exponent close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 2 to the power of straight k plus 1 end exponent minus 8 close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of straight k plus 1 end exponent times 2 minus 8 close parentheses equals 3 open parentheses 2 to the power of open parentheses straight k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 8 close parentheses end style 

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Maka, undefined bernilai benar.

 

Karena

1.    undefined benar.

2.    Untuk sembarang bilangan bulat ≥ 3 , jika undefined bernilai benar mengakibatkan undefined bernilai benar.

Maka, undefined benar untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 , menurut prinsip induksi matematika.

 

Terbukti bahwa undefined untuk setiap bilangan bulat ≥ 3 . Akibatnya nilai minimum yang mungkin untuk p adalah 3.

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan asli , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor ....

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1)

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of 1 over 2 to the power of i equals 1 minus 1 over 2 to the power of n end style    

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

LANGKAH 1: Buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

 begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of 1 over 2 to the power of i equals 1 minus 1 over 2 to the power of n end style

Substitusikan nilai n equals 1 ke pernyataan tersebut sebagai berikut.

  begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of 1 over 2 to the power of i end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of 1 end cell row cell P subscript 1 colon 1 over 2 to the power of 1 end cell equals cell 1 minus 1 over 2 to the power of 1 end cell end table end style

Diperoleh ruas kirinya adalah begin mathsize 14px style 1 over 2 to the power of 1 equals 1 half end style dan ruas kanannya adalah begin mathsize 14px style 1 minus 1 over 2 to the power of 1 equals 1 half end style.   

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.


LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut ini.

undefined

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli k seperti berikut ini.

begin mathsize 14px style P subscript k colon sum from i equals 1 to k of 1 over 2 to the power of i equals 1 minus 1 over 2 to the power of k end style

Kemudian substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of 1 over 2 to the power of i equals 1 minus 1 over 2 to the power of k plus 1 end exponent end style

Dari ruas kiri pernyataan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style, didapatkan perhitungan sebagai berikut.

i=1k+12i1=====i=1k2i1+2k+11(12k1)+2k+1112k22+2k+1112k+12+2k+1112k+11

Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

  1. begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.
  2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript n end style benar untuk setiap bilangan asli n menurut prinsip induksi matematika.


Pernyataan 2)

Diberikan pernyataan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of n plus 1 end exponent minus 6 end style

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n yaitu begin mathsize 14px style n greater or equal than 1 end style, maka langkah pertamanya adalah buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

LANGKAH 1: Buktikan begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.

Perhatikan pernyataan berikut.

begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of n plus 1 end exponent minus 6 end style

Substitusikan nilai n equals 1 ke pernyataan tersebut sebagai berikut.

  begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell P subscript 1 colon sum from i equals 1 to 1 of open parentheses 5 times 6 to the power of i close parentheses end cell equals cell 6 to the power of 1 plus 1 end exponent minus 6 end cell row cell P subscript 1 colon 5 times 6 to the power of 1 end cell equals cell 6 to the power of 1 plus 1 end exponent minus 6 end cell end table end style

Diperoleh ruas kirinya adalah begin mathsize 14px style 5 times 6 to the power of 1 equals 5 times 6 equals 30 end style dan ruas kanannya adalah begin mathsize 14px style 6 to the power of 1 plus 1 end exponent minus 6 equals 6 squared minus 6 equals 36 minus 6 equals 30 end style.

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.


LANGKAH 2: Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Perhatikan pernyataan berikut ini.

begin mathsize 14px style P subscript n colon sum from i equals 1 to n of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of n plus 1 end exponent minus 6 end style

Asumsikan pernyataan tersebut benar untuk sembarang bilangan asli k seperti berikut ini.

begin mathsize 14px style P subscript k colon sum from i equals 1 to k of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of k plus 1 end exponent minus 6 end style

Kemudian substitusikan nilai n equals k plus 1 sebagai berikut.

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon sum from i equals 1 to k plus 1 of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis equals 6 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 6 end style

Dari ruas kiri pernyataan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style, didapatkan perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sum from i equals 1 to k plus 1 of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis end cell equals cell sum from i equals 1 to k of left parenthesis 5 times 6 to the power of i right parenthesis plus 5 times 6 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell open parentheses 6 to the power of k plus 1 end exponent minus 6 close parentheses plus 5 times 6 to the power of k plus 1 end exponent end cell row blank equals cell 6 to the power of k plus 1 end exponent plus 5 times 6 to the power of k plus 1 end exponent minus 6 end cell row blank equals cell 6 times 6 to the power of k plus 1 end exponent minus 6 end cell row blank equals cell 6 to the power of k plus 1 end exponent times 6 minus 6 end cell row blank equals cell 6 to the power of open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 end exponent minus 6 end cell end table end style

Didapatkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Jadi, begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dari penjabaran di atas, didapatkan informasi berikut.

  1. begin mathsize 14px style P subscript 1 end style benar.
  2. Untuk sembarang bilangan asli k, jika begin mathsize 14px style P subscript k end style bernilai benar mengakibatkan begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript end style bernilai benar.

Dengan demikian, begin mathsize 14px style P subscript n end style benar untuk setiap bilangan asli n menurut prinsip induksi matematika.


Oleh karena itu, dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang bernilai benar ditunjukkan oleh nomor 1) dan 2).

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

0

Roboguru

Perhatikan pernyataan berikut! untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan berikut!

undefined 

untuk setiap bilangan asli undefined.

 

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli undefined, yaitu n1, maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined

atau

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 2 over 3 equals 2 minus 1 over 3 to the power of 1 end style

Ruas kiri = begin mathsize 14px style 2 over 3. end style    

Ruas kanan = begin mathsize 14px style 2 minus 1 over 3 to the power of 1 equals 2 minus 1 third equals 5 over 3. end style   

Karena ruas kiri ≠ ruas kanan, maka P1 salah.

Dengan demikian, terdapat kesalahan pada langkah pertama.

 

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined    

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 2 over 3 plus 2 over 9 plus 2 over 27 plus horizontal ellipsis plus 2 over 3 to the power of k equals 2 minus 1 over 3 to the power of k end style   

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 2 over 3 plus 2 over 9 plus 2 over 27 plus horizontal ellipsis plus 2 over 3 to the power of k plus 2 over 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 2 minus 1 over 3 to the power of k plus 1 end exponent end style  

Dari ruas kiri Pk+1, didapat

begin mathsize 14px style 2 over 3 plus 2 over 9 plus 2 over 27 plus... plus 2 over 3 to the power of k plus 2 over 3 to the power of k plus 1 end exponent equals open parentheses 2 minus 1 over 3 to the power of k close parentheses plus 2 over 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 2 minus fraction numerator 3 over denominator 3 to the power of k times 3 end fraction plus 2 over 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 2 minus 3 over 3 to the power of k plus 1 end exponent plus 2 over 3 to the power of k plus 1 end exponent equals 2 minus 1 over 3 to the power of k plus 1 end exponent end style   

Sehingga didapatkan ruas kiri = ruas kanan.
Oleh karena itu, Pk+1 bernilai benar.

Dengan demikian, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan tidak terbukti, karena tahap pertama tidak bisa dibuktikan meskipun tahap kedua bisa dibuktikan.

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

0

Roboguru

Petunjuk: Pergunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan setiap pernyataan berikut.  1.

Pembahasan Soal:

Langkah Pertama

Misalkan n=1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript 1 end cell identical to cell sum from straight i equals 1 to straight n of open parentheses 2 straight i close parentheses equals straight n left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis end cell row blank identical to cell sum from straight i equals 1 to straight n of left parenthesis 2.1 right parenthesis equals 1 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis end cell row blank blank cell space space space space space space space space space 2 equals 2 space rightwards arrow space terbukti space end cell end table

Langkah kedua

Anggaplah n=k benar maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript straight k end cell identical to cell sum from straight i equals 1 to straight n of open parentheses 2 straight i close parentheses equals straight n left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis end cell row blank identical to cell sum from straight i equals 1 to straight k of left parenthesis 2 straight i right parenthesis equals straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis rightwards arrow Anggap space benar end cell end table

Akan dibuktikan bahwa

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript straight k plus 1 end subscript end cell identical to cell sum from straight i equals 1 to straight n of open parentheses 2 straight i close parentheses equals straight n left parenthesis straight n plus 1 right parenthesis end cell row blank identical to cell sum from straight i equals 1 to straight k plus 1 of left parenthesis 2 straight i right parenthesis equals straight k plus 1 left parenthesis straight k plus 1 plus 1 right parenthesis end cell row blank blank cell space space space space space space space space space space space equals left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis equals straight k squared plus 2 straight k plus straight k plus 2 equals straight k squared plus 3 straight k plus 2 end cell end table

Perhatikan PRK :

sum from straight i equals 1 to straight k plus 1 of open parentheses 2 straight i close parentheses space space space space space equals sum from straight i equals 1 to straight k of left parenthesis 2 straight i right parenthesis plus sum from straight i equals straight k plus 1 to straight k plus 1 of left parenthesis 2 straight i right parenthesis straight k squared plus 3 straight k plus 2 equals straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis plus 2 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis straight k squared plus 3 straight k plus 2 equals straight k squared plus 3 straight k plus 2

Jadi terbukti bahwa 2 plus 4 plus 6 plus... plus open parentheses 2 straight n close parentheses equals sum from straight i equals 1 to straight n of open parentheses 2 straight i close parentheses equals straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses karena ruas kanan dan kiri mempunyai nilai sama yaitu straight k squared plus 3 straight k plus 2

 

4

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved