Roboguru

Buktikanlah bahwa: d. (cosx+sinx)(1−4cosxsinx)=cos3x−sin3x

Pertanyaan

Buktikanlah bahwa:

d. open parentheses cos space x plus sin space x close parentheses open parentheses 1 minus 4 space cos space x space sin space x close parentheses equals cos space 3 x space minus space sin space 3 x

Pembahasan Soal:

Ingat:

rightwards double arrow cos space 3 A equals 4 space cos cubed space A minus 3 space sin space A rightwards double arrow sin space 3 A equals negative 4 space sin cubed space A plus 3 space cos space A

Berdasarkan rumus-rumus di atas, maka

begin mathsize 12px style cos space 3 x space minus space sin space 3 x equals 4 space cos cubed space x space 3 space sin space x minus open parentheses negative 4 space sin cubed space x plus 3 space cos space x close parentheses space equals 4 left parenthesis cos cubed space x plus space sin cubed space x right parenthesis minus 3 left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis space equals 4 open square brackets open parentheses sin space x plus cos space x close parentheses cubed minus 3 sin space x space cos space x space left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis close square brackets minus 3 left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis space equals left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis open square brackets 4 open parentheses sin space x plus cos space x close parentheses squared minus 12 space sin space x space cos space x minus 3 close square brackets space equals left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis open square brackets 4 left parenthesis 1 plus sin space 2 x right parenthesis minus 6 sin space 2 x minus 3 close square brackets space equals left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis open square brackets 1 minus 2 sin space 2 x close square brackets space equals left parenthesis sin space x plus cos space x right parenthesis open square brackets 1 minus 4 sin space x space cos space x close square brackets end style

Jadi, terbukti bahwa open parentheses cos space x plus sin space x close parentheses open parentheses 1 minus 4 space cos space x space sin space x close parentheses equals cos space 3 x space minus space sin space 3 x.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

H. Janatu

Mahasiswa/Alumni Universitas Riau

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui sin(x−60∘)+sin(x+60∘)=p. Hasil dari sin2x = ....

Pembahasan Soal:

sin open parentheses x minus 60 to the power of o close parentheses plus sin open parentheses x plus 60 to the power of o close parentheses equals p  sin x cos 60 to the power of o minus cos x sin 60 to the power of o plus sin x cos 60 to the power of o plus cos x sin 60 to the power of o equals p  2 sin x cos 60 to the power of o equals p  2 sin x open parentheses 1 half close parentheses equals p  sin x equals p  cos space x equals square root of 1 minus sin squared x end root equals square root of 1 minus p squared end root  S e h i n g g a comma space sin space 2 x equals 2 sin x space cos x equals 2 p square root of 1 minus p squared end root

0

Roboguru

Dengan menyatakan 3θ=2θ+θ, buktikan kebenaran setiap bentuk berikut, kemudian tentukan nilai m dan n pada soal (a) dan (b). a. sin3θ=msinθ+nsin3θ

Pembahasan Soal:

Jumlah Dua Sudut pada Sinus

sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses equals sin space alpha space cos space beta plus cos space alpha space sin space beta 

Sudut Rangkap pada Sinus dan Cosinus

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 alpha end cell equals cell 2 space sin space alpha space cos space alpha end cell row cell cos space 2 alpha end cell equals cell cos squared space alpha minus sin squared space alpha end cell row blank equals cell 2 space cos squared space alpha minus 1 end cell row blank equals cell 1 minus 2 space sin squared space alpha end cell end table 

Akan dibuktikan sin space 3 theta equals m space sin space theta plus n space sin cubed space theta dimana 3 theta equals 2 theta plus theta.

Bukti:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 3 theta end cell equals cell sin space open parentheses 2 theta plus theta close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 theta space cos space theta plus cos space 2 theta space sin space theta end cell row blank equals cell open parentheses 2 space sin space theta space cos space theta close parentheses space cos space theta plus open parentheses 1 minus 2 space sin squared space theta close parentheses space sin space theta end cell row blank equals cell 2 space sin space theta space cos squared space theta plus sin space theta minus 2 space sin cubed space theta end cell row blank equals cell open parentheses 2 space cos squared space theta plus 1 close parentheses space sin space theta minus 2 space sin cubed space theta end cell row blank equals cell m space sin space theta plus n space sin cubed space theta end cell end table 

Terbukti!

Maka, nilai m dan n adalah:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row m equals cell 2 space cos squared space theta plus 1 end cell row n equals cell negative 2 end cell end table  

Jadi, Error converting from MathML to accessible text. dan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank n end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank minus end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank 2 end table.

0

Roboguru

Diketahui sin(x+15∘)=m dengan 0∘≤x≤15∘. Tentukan ekspresi sin(2x+60∘) dalam m.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Sudut Rangkap (Sinus)

sin2A=2sinAcosA

Sudut Rangkap (Cosinus)

cos2A=12sin2A

Rumus Perbandingan Sisi Trigonometri

sinA=miringdepancosA=miringsamping

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Diketahui sin(x+15)=m dengan 0x15 sehingga sisi depan m dan sisi miring 1

Menentukan sisi samping dengan teorema pythagoras

12m2=1m2

Menghitung cos(x+15)

cos(x+15)=miringsamping=11m2=1m2

►Menentukan ekspresi sin(2x+60) dalam m

Diketahui sin(x+15)=m dan cos(x+15)=1m2

Misalkan A=x+15

sehingga 2x+60=2(x+15)+30=2A+30

sin(2x+60)======sin(2A+30)sin2Acos30+cos2Asin30(2sinAcosA)cos30+(12sin2A)sin302m1m2213+(12m2)213m1m2+21m2m2+3m1m2+21

Dengan demikian, ekspresi sin(2x+60) dalam m adalah m2+3m1m2+21. 

0

Roboguru

Jika cos2x+cos4x=21​, maka sin4x+2sin6x+sin8x=...

Pembahasan Soal:

Ingat kembali rumus-rumus berikut untuk menyelesaiakn soal diatas.

  1. Rumus sudut ganda pada sinus: sin space 2 x equals 2 space sin space x space cos space x
  2. Rumus penjumlahan dua sudut pada sinus: sin space open parentheses x plus y close parentheses equals sin space x space cos space y plus sin space y space cos space x

Pada soal diketahui cos space 2 x plus cos space 4 x equals 1 half, maka:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell sin space 4 x plus 2 space sin space 6 x plus sin space 8 x end cell row blank equals cell sin space 4 x plus 2 space sin space open parentheses 4 x plus 2 x close parentheses plus 2 space sin space 4 x space cos space 4 x end cell row blank equals cell sin space 4 x plus 2 open parentheses sin space 4 x space cos space 2 x plus sin space 2 x space cos space 4 x close parentheses plus 2 space sin space 4 x space cos space 4 x end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x space cos space 2 x plus 2 open parentheses 2 space sin space 2 x space cos squared space 2 x plus sin space 2 x space cos space 4 x close parentheses plus 4 space sin space 2 x space cos space 2 x space cos space 4 x end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x open parentheses bold cos bold space bold 2 bold x plus 2 space cos squared 2 x bold plus bold cos bold space bold 4 bold x plus 2 space cos space 2 x space cos space 4 x close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x open parentheses 1 half plus 2 space cos squared 2 x plus 2 space cos space 2 x space cos space 4 x close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x open parentheses 1 half plus 2 space cos space 2 x open parentheses bold cos bold space bold 2 bold x bold plus bold cos bold space bold 4 bold x close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x open parentheses 1 half plus 2 space cos space 2 x open parentheses 1 half close parentheses close parentheses end cell row blank equals cell 2 space sin space 2 x open parentheses 1 half plus cos space 2 x close parentheses end cell row blank equals cell sin space 2 x plus 2 space sin space 2 x space cos space 2 x end cell row blank equals cell sin space 2 x plus sin space 4 x end cell end table 

Dengan demikian, nilai dari sin space 4 x plus 2 space sin space 6 x plus sin space 8 x adalah sin space 2 x plus sin space 4 x.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

0

Roboguru

Jika sinx+cosy=1 dan cosx+siny=23​, maka untuk 0<x+y<2π​ sin2(x+y)=...

Pembahasan Soal:

Ingatlah kembali rumus-rumus berikut:

  1. Sudut rangkap pada sinus yaitu sin space 2 alpha equals 2 space sin space alpha space cos space alpha.
  2. identitas trigonometri sin squared alpha plus cos squared alpha equals 1.
  3. Penjumlahan dua sudut pada sinus: sin space open parentheses a plus b close parentheses equals sin space a space cos space b plus cos space a space sin space b.

Pada soal diketahui sin space x plus cos space y equals 1, jika kedua ruas dikuadratkan, akan menghasilkan persamaan (i):

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses sin space x plus cos space y close parentheses squared end cell equals cell 1 squared end cell row cell sin squared x plus 2 space sin space x space cos space y plus space cos squared y end cell equals cell 1 space.... left parenthesis straight i right parenthesis end cell end table

Selanjutnya, diketahui juga cos space x plus sin space y equals 3 over 2, jika kedua ruas dikuadratkan, akan menghasilkan persamaan (ii):

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses cos space x plus sin space y close parentheses squared end cell equals cell open parentheses 3 over 2 close parentheses squared end cell row cell cos squared x plus 2 space cos space x space sin space y plus sin squared y end cell equals cell 9 over 4.... left parenthesis ii right parenthesis end cell end table

Lalu, jumlahkan persamaan (i) dan (ii) sehingga:

Error converting from MathML to accessible text. 

Jika diuraikan didapatlah hasil penjumlahan tersebut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell bold sin to the power of bold 2 bold x bold plus bold cos to the power of bold 2 bold x plus bold cos to the power of bold 2 bold y bold plus bold sin to the power of bold 2 bold y plus 2 space sin space x space cos space y plus 2 space cos space x space sin space y end cell equals cell 13 over 4 end cell row cell 1 plus 1 plus 2 open parentheses sin space x space cos space y plus cos space x space sin space y space close parentheses end cell equals cell 13 over 4 end cell row cell 2 plus 2 times sin space open parentheses x plus y close parentheses end cell equals cell 13 over 4 end cell row cell 2 times sin space open parentheses x plus y close parentheses end cell equals cell 13 over 4 minus 2 end cell row cell 2 times sin space open parentheses x plus y close parentheses end cell equals cell 5 over 4 end cell row cell sin space open parentheses x plus y close parentheses end cell equals cell 5 over 8 space... left parenthesis iii right parenthesis end cell end table

Karena 0 less than x plus y less than straight pi over 2 sudut lancip, maka dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri didapat:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank sin end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank space end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses x plus y close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell de over mi end cell end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 5 over 8 end cell end table

sehingga panjang sisi samping adalah:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight s. space samping end cell equals cell square root of 8 squared minus 5 squared end root end cell row blank equals cell square root of 64 minus 25 end root end cell row blank equals cell square root of 39 end cell end table

Ditanyakan nilai dari sin space 2 open parentheses x plus y close parentheses yaitu:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 2 open parentheses x plus y close parentheses end cell equals cell 2 space sin space open parentheses x plus y close parentheses space cos space open parentheses x plus y close parentheses end cell row blank equals cell 2 times 5 over 8 times fraction numerator square root of 39 over denominator 8 end fraction end cell row blank equals cell 5 over 4 times fraction numerator square root of 39 over denominator 8 end fraction end cell row blank equals cell 5 over 32 square root of 39 end cell end table

Dengan demikian, telah didapat nilai dari sin space 2 open parentheses x plus y close parentheses yaitu 5 over 32 square root of 39.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved