Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n. n(n2+2) habis dibagi 3

Pertanyaan

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli n.

straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses habis dibagi begin mathsize 14px style 3 end style 

Pembahasan Soal:

Membuktikan dengan induksi matematika dimana

Untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 1 squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1.3 end cell row blank equals cell 3 rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell end table

Untuk n = k diasumsikan habis dibagi 3 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell straight k open parentheses straight k squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell straight k open parentheses straight k squared plus 2 close parentheses equals 3 straight p rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell row blank blank blank end table

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses end cell equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis squared plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses straight k squared plus 2 straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses straight k squared plus 2 right parenthesis left parenthesis 2 straight k plus 1 close parentheses end cell row blank equals cell 3 straight p plus 2 straight k squared plus straight k plus straight k squared plus 2 straight k plus 3 end cell row blank equals cell 3 straight p plus 3 straight k squared plus 3 straight k plus 3 end cell row blank equals cell 3 open parentheses straight p plus straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses rightwards arrow space Habis space dibagi space 3 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n dalam pernyataan straight n open parentheses straight n squared plus 2 close parentheses habis dibagi begin mathsize 14px style 3 end style dimana hasilnya table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 3 open parentheses straight p plus straight k squared plus straight k plus 1 close parentheses end cell row blank blank blank end table

 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

A. Acfreelance

Mahasiswa/Alumni UIN Walisongo Semarang

Terakhir diupdate 06 Oktober 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut Pn​:52n−32n  habis dibagi 16 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent equals 5 squared minus 3 squared equals 25 minus 9 equals 16 end style  

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end cell equals cell 5 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 3 to the power of 2 k plus 2 end exponent end cell row blank equals cell 5 squared bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 squared bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 9 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 25 bullet 3 to the power of 2 k end exponent plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell end table end style   

Karena begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses end style  habis dibagi 16.

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16 atau begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Maka, Pk+1  bernilai benar.

Karena

  1. P1  benar.
  2. Untuk sembarangan bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawabannya adalah D.

0

Roboguru

Untuk bilangan bulat positif n, diketahui pernyataan-pernyataan berikut : Jika n2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi n Jika  adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi . Jika  adalah bi...

Pembahasan Soal:

Pernyataan 1 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi bold italic n

Dengan metode tidak langsung (dengan kontraposisi),

  1. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan jika 2 tidak habis membagi n (sehingga n adalah bilangan ganjil), maka undefined adalah bilangan ganjil.
  2. Maka terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k+1.
  3. n squared equals left parenthesis 2 k plus 1 right parenthesis squared equals 4 k squared plus 4 k plus 1 equals 2 left parenthesis 2 k squared plus 2 k right parenthesis plus 1 
  4. Misalkan l equals 2 k squared plus 2 k , maka n squared equals 2 l plus 1 .
  5. Karena adalah bilangan bulat, maka undefined adalah bilangan ganjil.

  Pernyataan 1  bernilai benar.

 

Pernyataan 2 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 2 habis membagi bold italic n to the power of bold 2.

Dengan metode pembuktian langsung,

Karena undefined adalah bilangan genap, maka jelas bahwa 2 habis membagi undefined.

 Pernyataan 2 bernilai benar.

 

Pernyataan 3 : Jika bold italic n to the power of bold 2 adalah bilangan genap, maka 4 habis membagi bold italic n to the power of bold 2.

Dengan metode pembuktian langsung,

  1. Berdasarkan pernyataan 1), jika undefined adalah bilangan genap, maka n adalah bilangan genap.
  2. Sehingga terdapat bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k.
  3. n squared equals left parenthesis 2 k right parenthesis squared equals 4 k squared 
  4. Misalkan l equals k squared , maka n squared equals 4 l .
  5. Karena adalah bilangan bulat, maka 4 habis membagi undefined.

  Pernyataan 3 bernilai benar.

Sehingga, pernyataan 1), 2), dan 3) ketiganya benar.

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

0

Roboguru

Tentukan semua nilai n yang membuat 2n−1 habis membagi n!.

Pembahasan Soal:

Tentukan semua nilai begin mathsize 14px style n end style yang membuat begin mathsize 14px style 2 to the power of n minus 1 end exponent end style habis membagi begin mathsize 14px style n factorial end style.

Faktorial hanya dimiliki oleh bilangan bulat 0 dan bilangan bulat positif dengan 0 adalah faktorial terkecil. Dengan metode substitusi, maka kita coba-coba nilai n sebagai berikut:

Dari tabel di atas, terlihat bahwa 2n1 habis dibagi begin mathsize 14px style n factorial end style pada nilai n=1dann=2, karena hasil baginya adalah bilangan bulat.

Dengan demikian, nilai begin mathsize 14px style n end style yang membuat 2n1 habis dibagi begin mathsize 14px style n factorial end style adalah n=1dann=2.

0

Roboguru

Prove that the sum of the digits of a number divisible by 9 is it self divisible by .

Pembahasan Soal:

Misalkan bilangan tersebut adalah anan1an2...a1a0. Sehingga kita uraikan menjadi:

==anan1an2...a1a010nan+10an1+...+10a1+a0habisdibagi9n99..99an+n199..99an1+...+9a1+(an+an1+...+a1+a0) 

Sehingga, agar bilangan tersebut habis dibagi 9, maka haruslah:

an+an1+...+a1+a0 habis dibagi 9 (terbukti)

Dengan demikian, agar suatu bilangan habis dibagi 9, maka jumlah semua digitnya harus habis dibagi 9.

2

Roboguru

Buktikan bahwa 22n−1 habis dibagi oleh 3.

Pembahasan Soal:

Untuk membuktikan 2 to the power of 2 n end exponent minus 1 habis dibagi 3, maka untuk membuktikannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga langkah yaitu sebagai berikut.

Langkah pertama. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk n equals 1 maka

  table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 times 1 end exponent minus 1 end cell equals cell 2 squared minus 1 end cell row blank equals cell 4 minus 1 end cell row blank equals cell 3 space habis space dibagi space 3 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table    

Langkah kedua. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar karena berlaku untuk bilangan 1.

Anggap untuk n equals k maka 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 habis dibagi 3 (asumsikan benar).

Langkah ketiga. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk n equals k plus 1 maka dapat dibuktikan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 end cell equals cell 2 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 2 to the power of 2 k end exponent. space 2 squared minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 2 to the power of 2 k end exponent. space 4 minus 1 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 4 times 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 end cell row blank equals cell 3 times 2 to the power of 2 k end exponent plus 1 times 2 to the power of k minus 1 end cell row blank equals cell 3 times 2 to the power of 2 k end exponent plus 2 to the power of k minus 1 end cell end table   

Perhatikan 3 times open parentheses 2 to the power of 2 k end exponent minus 1 close parentheses habis dibagi 3 dan 2 to the power of k minus 1 juga habis dibagi 3, hal ini sesuai dengan asumsi ada langkah kedua. Maka, 2 to the power of 2 left parenthesis k plus 1 right parenthesis end exponent minus 1 habis dibagi 3 terbukti. 

Jadi, terbukti bahwa 2 to the power of 2 n end exponent minus 1 habis dibagi 3.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved