Pertanyaan

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. a. k = 1 ∑ n k ( 4 k 2 − 3 ) = 2 ( n 2 + n ) ( 2 n 2 + 2 n − 3 )

Buktikan dengan prinsip induksi matematika.

a. $k = 1 \sum n k (4 k^{2} - 3) = \frac{( n ^{2} + n ) ( 2 n ^{2} + 2 n - 3 )}{2}$

R. Bella

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni UIN Syarif Hidayatullah Jakarta

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa .

terbukti bahwa $begin mathsize 14px style sum from k equals 1 to n of k left parenthesis 4 k squared minus 3 right parenthesis equals fraction numerator left parenthesis n squared plus n right parenthesis left parenthesis 2 n squared plus 2 n minus 3 right parenthesis over denominator 2 end fraction end style$ .

Pembahasan

Akan kita buktikan bahwa: k = 1 ∑ n k ( 4 k 2 − 3 ) = 1 + 26 + 99 + ... + n ( 4 n 2 − 3 ) DIketahui: Langkah 1. untuk n = 1 maka: ∑ k = 1 n k ( 4 k 2 − 3 ) 1 ( 4 × 1 2 − 3 ) 1 ( 4 × 1 − 3 ) 1 ( 4 − 3 ) 4 − 3 1 = = = = = = 2 ( n 2 + n ) ( 2 n 2 + 2 n − 3 ) 2 ( 1 2 + 1 ) ( 2 × 1 2 + 2 × 1 − 3 ) 2 ( 1 + 1 ) ( 2 × 1 + 2 − 3 ) 2 2 ( 2 + 2 − 3 ) 4 − 3 1 (benar) Langkah 2. untuk n = k maka: 1 + 26 + 99 + ... + k ( 4 k 2 − 3 ) = 2 ( k 2 + k ) ( 2 k 2 + 2 k − 3 ) (asumsi:benar) Langkah 3. untuk n = k + 1 maka: 1 + 26 + 99 + ... + k ( 4 k 2 − 3 ) + ( k + 1 ) ( 4 ( k + 1 ) 2 − 3 ) = 2 ( k 2 + k ) ( 2 k 2 + 2 k − 3 ) + ( k + 1 ) ( 4 ( k + 1 ) 2 − 3 ) = 2 ( k 2 + k ) ( 2 k 2 + 2 k − 3 ) + 2 ( k + 1 ) ( 4 ( k + 1 ) 2 − 3 ) = 2 ( k + 1 ) ( k ( 2 k 2 + 2 k − 3 ) + 2 ( 4 ( k + 1 ) 2 − 3 ) = 2 ( k + 1 ) ( 2 k 3 + 2 k 2 − 3 k + 2 ( 4 ( k 2 + 2 k + 1 ) − 3 ) = 2 ( k + 1 ) ( 2 k 3 + 2 k 2 − 3 k + 8 k 2 + 16 k + 8 − 6 ) = 2 ( k + 1 ) ( 2 k 3 + 10 k 2 + 13 k + 2 ) = 2 2 k 4 + 10 k 3 + 13 k 2 + 2 k + 2 k 3 + 10 k 2 + 13 k + 2 = 2 2 k 4 + 12 k 3 + 23 k 2 + 15 k + 2 = 2 ( k 2 + 3 k + 2 ) ( 2 k 2 + 6 k + 1 ) = 2 ( ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 )) ( 2 ( k + 1 ) 2 + 2 ( k + 1 ) − 3 ) (benar) Jadi, terbukti bahwa .

Akan kita buktikan bahwa:

$k = 1 \sum n k (4 k^{2} - 3) = 1 + 26 + 99 + ... + n (4 n^{2} - 3)$

DIketahui:

Langkah 1.

untuk $n = 1$ maka:

$\sum_{k = 1}^{n} k (4 k^{2} - 3) 1 (4 \times 1^{2} - 3) 1 (4 \times 1 - 3) 1 (4 - 3) 4 - 3 1 = = = = = = \frac{( n ^{2} + n ) ( 2 n ^{2} + 2 n - 3 )}{2} \frac{( 1 ^{2} + 1 ) ( 2 \times 1 ^{2} + 2 \times 1 - 3 )}{2} \frac{( 1 + 1 ) ( 2 \times 1 + 2 - 3 )}{2} \frac{2 ( 2 + 2 - 3 )}{2} 4 - 3 1 (benar)$

Langkah 2.

untuk $n = k$ maka:

$1 + 26 + 99 + ... + k (4 k^{2} - 3) = \frac{( k ^{2} + k ) ( 2 k ^{2} + 2 k - 3 )}{2} (asumsi: benar)$

Langkah 3.

untuk $n = k + 1$ maka:

$1 + 26 + 99 + ... + k (4 k^{2} - 3) + (k + 1) (4 (k + 1)^{2} - 3) = \frac{( k ^{2} + k ) ( 2 k ^{2} + 2 k - 3 )}{2} + (k + 1) (4 (k + 1)^{2} - 3) = \frac{( k ^{2} + k ) ( 2 k ^{2} + 2 k - 3 ) + 2 ( k + 1 ) ( 4 ( k + 1 ) ^{2} - 3 )}{2} = \frac{( k + 1 ) ( k ( 2 k ^{2} + 2 k - 3 ) + 2 ( 4 ( k + 1 ) ^{2} - 3 )}{2} = \frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{3} + 2 k ^{2} - 3 k + 2 ( 4 ( k ^{2} + 2 k + 1 ) - 3 )}{2} = \frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{3} + 2 k ^{2} - 3 k + 8 k ^{2} + 16 k + 8 - 6 )}{2} = \frac{( k + 1 ) ( 2 k ^{3} + 10 k ^{2} + 13 k + 2 )}{2} = \frac{2 k ^{4} + 10 k ^{3} + 13 k ^{2} + 2 k + 2 k ^{3} + 10 k ^{2} + 13 k + 2}{2} = \frac{2 k ^{4} + 12 k ^{3} + 23 k ^{2} + 15 k + 2}{2} = \frac{( k ^{2} + 3 k + 2 ) ( 2 k ^{2} + 6 k + 1 )}{2} = \frac{( ( k + 1 ) ^{2} + ( k + 1 )) ( 2 ( k + 1 ) ^{2} + 2 ( k + 1 ) - 3 )}{2} (benar)$

Jadi, terbukti bahwa $begin mathsize 14px style sum from k equals 1 to n of k left parenthesis 4 k squared minus 3 right parenthesis equals fraction numerator left parenthesis n squared plus n right parenthesis left parenthesis 2 n squared plus 2 n minus 3 right parenthesis over denominator 2 end fraction end style$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (4 rating)

Chelsea Giovanni

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. b. i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan ∑ i = 1 n i ( i + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) untuk setiap bilangan asli n !