Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematikapernyataan: P n ≡ i = 1 ∑ n 4 i − 1 = 3 1 ( 4 n − 1 )

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan:

$P_{n} \equiv i = 1 \sum n 4^{i - 1} = \frac{1}{3} (4^{n} - 1)$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

pernyataan P n ≡ i = 1 ∑ n 4 i − 1 = 3 1 ( 4 n − 1 ) merupakan pernyataan yang benar.

pernyataan

P_{n} \equiv i = 1 \sum n 4^{i - 1} = \frac{1}{3} (4^{n} - 1)

merupakan pernyataan yang benar.

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. 4 1 − 1 4 0 1 = = = 3 1 ( 4 1 − 1 ) 3 1 ( 3 ) 1 Untuk n = 1 pernyataan benar. 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n = k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. i = 1 ∑ k 4 i − 1 = 3 1 ( 4 k − 1 ) 3. Untuk n = k + 1 akan dibuktikan i = 1 ∑ k + 1 4 i − 1 = 3 1 ( 4 k + 1 − 1 ) Maka: ∑ i = 1 k + 1 4 i − 1 = = = = = = = ∑ i = 1 k + 1 4 i − 1 + 4 k + 1 − 1 ∑ i = 1 k + 1 4 i − 1 + 4 k 3 1 ( 4 k − 1 ) + 3 1 . ( 3 ) . 4 k 3 1 [ ( 4 k − 1 ) + 3. 4 k ] 3 1 [ 4 k − 1 + 3. 4 k ] 3 1 ( 4. 4 k − 1 ) 3 1 ( 4 k + 1 − 1 ) Dengan demikian, pernyataan P n ≡ i = 1 ∑ n 4 i − 1 = 3 1 ( 4 n − 1 ) merupakan pernyataan yang benar.

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$4^{1 - 1} 4^{0} 1 = = = \frac{1}{3} (4^{1} - 1) \frac{1}{3} (3) 1$

Untuk $n = 1$ pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$i = 1 \sum k 4^{i - 1} = \frac{1}{3} (4^{k} - 1)$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan

$i = 1 \sum k + 1 4^{i - 1} = \frac{1}{3} (4^{k + 1} - 1)$

Maka:

$\sum_{i = 1}^{k + 1} 4^{i - 1} = = = = = = = \sum_{i = 1}^{k + 1} 4^{i - 1} + 4^{k + 1 - 1} \sum_{i = 1}^{k + 1} 4^{i - 1} + 4^{k} \frac{1}{3} (4^{k} - 1) + \frac{1}{3} . (3) . 4^{k} \frac{1}{3} [(4^{k} - 1) + 3. 4^{k}] \frac{1}{3} [4^{k} - 1 + 3. 4^{k}] \frac{1}{3} (4. 4^{k} - 1) \frac{1}{3} (4^{k + 1} - 1)$

Dengan demikian, pernyataan $P_{n} \equiv i = 1 \sum n 4^{i - 1} = \frac{1}{3} (4^{n} - 1)$ merupakan pernyataan yang benar.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

115

5.0 (5 rating)

nanda

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Use the method of mathematical induction to prove that, for all positive integers n , ( 1 × 4 ) + ( 2 × 5 ) + ( 3 × 6 ) + ... + n ( n + 3 ) = 3 1 n ( n + 1 ) ( n + 5 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakan induksi matematika, rumus deret 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ⋯ + n 3 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan dengan prinsip induksi matematika. b. i = 1 ∑ n n 3 [ ( n i ) 2 + 1 ] = 2 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 3

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika x  = 1 , buktikan bahwa: 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + n x n − 1 = ( 1 − x ) 2 1 − x n − 1 − x n x n .

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan ∑ i = 1 n i ( i + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) untuk setiap bilangan asli n !

4.7

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Bantuan & Panduan

Hubungi Kami

+62 815-7441-0000

[email protected]

02140008000

Ikuti Kami

Buktikan dengan induksi matematikapernyataan: P n ​ ≡ i = 1 ∑ n ​ 4 i − 1 = 3 1 ​ ( 4 n − 1 )

Jawaban

pernyataan P n ​ ≡ i = 1 ∑ n ​ 4 i − 1 = 3 1 ​ ( 4 n − 1 ) merupakan pernyataan yang benar.

Pembahasan

Pertanyaan serupa

Buktikan dengan induksi matematikapernyataan: P n ≡ i = 1 ∑ n 4 i − 1 = 3 1 ( 4 n − 1 )

pernyataan P n ≡ i = 1 ∑ n 4 i − 1 = 3 1 ( 4 n − 1 ) merupakan pernyataan yang benar.