Iklan

Iklan

Pertanyaan

Buktikan dengan induksi matematika. ( 1 × 2 ) + ( 2 × 3 ) + ( 3 × 4 ) + ( 4 × 5 ) + ⋯ + n ( n + 1 ) = 3 n ​ ( n + 1 ) ( n + 2 ) berlaku untuk semua n bilangan asli.

Buktikan dengan induksi matematika.

berlaku untuk semua n bilangan asli.

Iklan

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Iklan

Pembahasan

Misalkan . Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut. Dibuktikan benar untuk Jadi, benar untuk diamsusikan benar untuk , sehingga benar untuk Karena ruas kiri = ruas kanan, maka benar untuk Dengan demikian, terbukti benar untuk n bilangan asli.

Misalkan 

begin mathsize 12px style P subscript n identical to left parenthesis 1 cross times 2 right parenthesis plus left parenthesis 2 cross times 3 right parenthesis plus left parenthesis 3 cross times 4 right parenthesis plus left parenthesis 4 cross times 5 right parenthesis plus horizontal ellipsis plus n left parenthesis n plus 1 right parenthesis equals n over 3 left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis end style.

Langkah-langkah induksi matematika, yaitu sebagai berikut.

Dibuktikan P subscript n benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell n left parenthesis n plus 1 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row cell 1 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis end cell equals cell fraction numerator 1 left parenthesis 1 plus 1 right parenthesis left parenthesis 1 plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row 2 equals cell fraction numerator left parenthesis 2 right parenthesis left parenthesis 3 right parenthesis over denominator 3 end fraction end cell row 2 equals cell 6 over 3 end cell row 2 equals 2 end table

Jadi,  P subscript n benar untuk n equals 1

P subscript n diamsusikan benar untuk n equals k, sehingga 

begin mathsize 12px style left parenthesis 1 cross times 2 right parenthesis plus left parenthesis 2 cross times 3 right parenthesis plus left parenthesis 3 cross times 4 right parenthesis plus left parenthesis 4 cross times 5 right parenthesis plus horizontal ellipsis plus k left parenthesis k plus 1 right parenthesis equals k over 3 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end style

P subscript n benar untuk n equals k plus 1

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kiri equals left parenthesis 1 cross times 2 right parenthesis plus horizontal ellipsis plus k left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis equals fraction numerator straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction plus left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis equals 1 third open parentheses straight k left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis close parentheses plus 1 third 3 left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis equals 1 third left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis left parenthesis straight k plus 2 right parenthesis left parenthesis straight k plus 3 right parenthesis end style

begin mathsize 12px style rightwards arrow Ruas space kanan equals fraction numerator k left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction equals fraction numerator left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 1 right parenthesis left parenthesis left parenthesis k plus 1 right parenthesis plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction equals 1 third left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis left parenthesis k plus 3 right parenthesis end style

Karena ruas kiri = ruas kanan, maka P subscript nbenar untuk n equals k plus 1 

Dengan demikian,

 begin mathsize 12px style left parenthesis 1 cross times 2 right parenthesis plus left parenthesis 2 cross times 3 right parenthesis plus left parenthesis 3 cross times 4 right parenthesis plus horizontal ellipsis plus n left parenthesis n plus 1 right parenthesis equals fraction numerator n left parenthesis n plus 1 right parenthesis left parenthesis n plus 2 right parenthesis over denominator 3 end fraction end style

 terbukti benar untuk bilangan asli.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan berikut ini yang bernilai benar untuk setiap bilangan asli n adalah ….

8

3.7

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia