Roboguru

Buktikan bahwa untuk  bilangan asli, selalu 52n+2−24n−25 habis dibagi .

Pertanyaan

Buktikan bahwa untuk begin mathsize 14px style n end style bilangan asli, selalu 52n+224n25 habis dibagi begin mathsize 14px style 576 end style.

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah induksi:

  1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.
  2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar.
  3. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar. 

Maka:

Langkah 1: 

Untuk n equals 1, maka

P(1)====52(1)+224(1)255424256252425576  

576 habis dibagi 576, sehingga P subscript n benar untuk n equals 1.

Langkah 2:

Andaikan untuk n equals k pernyataan tersebut benar, maka P(n)=52n+224n25 habis dibagi 576, sehingga:

P(k)=52k+224k25  

Langkah 3:

Untuk n equals k plus 1, maka

P(k+1)========52(k+1)+224(k+1)2552k+2+224k24255252k+224k25242552k+224k25242552k+224k2524576k+576k600+6002552k+2600k625+576k+6002425habisdibagi576(52k+224k25)+576k+57625habisdibagi576(52k+224k25)+habisdibagi576576(k+1)       

Dengan demikian, 52n+224n25 habis dibagi 576 untuk semua bilangan asli n.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Sutiawan

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Terakhir diupdate 12 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Perhatikan pernyataan berikut   habis dibagi 16 untuk setiap bilangan asli n. Dengan menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa ....

Pembahasan Soal:

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

untuk setiap bilangan asli n.

Karena akan dibuktikan pernyataan untuk setiap bilangan asli n, yaitu n ≥ 1 , maka langkah pertamanya adalah buktikan P1 benar.

 

LANGKAH 1 : Buktikan P1 benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Kemudian didapat

begin mathsize 14px style P subscript 1 colon 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent equals 5 squared minus 3 squared equals 25 minus 9 equals 16 end style  

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga P1 benar.

LANGKAH 2 : Buktikan untuk sembarang bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Perhatikan pernyataan

undefined  habis dibagi 16

Asumsikan

begin mathsize 14px style P subscript k colon 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16

bernilai benar.

Perhatikan

begin mathsize 14px style P subscript k plus 1 end subscript colon 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end cell equals cell 5 to the power of 2 k plus 2 end exponent minus 3 to the power of 2 k plus 2 end exponent end cell row blank equals cell 5 squared bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 squared bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 9 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 bullet 5 to the power of 2 k end exponent minus 25 bullet 3 to the power of 2 k end exponent plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell row blank equals cell 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end cell end table end style   

Karena begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses end style  habis dibagi 16.

Karena 16 habis dibagi 16, maka begin mathsize 14px style 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16.

Sehingga begin mathsize 14px style 25 open parentheses 5 to the power of 2 k end exponent minus 3 to the power of 2 k end exponent close parentheses plus 16 bullet 3 to the power of 2 k end exponent end style  habis dibagi 16 atau begin mathsize 14px style 5 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent minus 3 to the power of 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end exponent end style  habis dibagi 16.

Maka, Pk+1  bernilai benar.

Karena

  1. P1  benar.
  2. Untuk sembarangan bilangan asli k, jika Pk bernilai benar mengakibatkan Pk+1 bernilai benar.

Maka, Pn benar untuk setiap bilangan asli n, menurut prinsip induksi matematika.

Sehingga, pada proses pembuktian dengan induksi matematika di atas, didapatkan bahwa pernyataan terbukti benar tanpa ada kesalahan.

Jadi, jawabannya adalah D.

0

Roboguru

Buktikan dengan prinsip induksi matematika, untuk setiap bilangan asli .  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Untuk n =1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight n plus 3 end cell equals cell 5 to the power of 1 plus 3 end cell row blank equals cell 5 plus 3 end cell row blank equals cell 8 space habis space dibagi space 4 end cell end table

Untuk n = k maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 3 end cell equals cell 4 straight m rightwards arrow bilangan space asli space end cell row cell 5 to the power of straight k end cell equals cell 4 straight m minus 3 end cell row blank blank blank end table

Sedangkan untuk n = k+1 subsitusi nilai dari hasil n = k

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 to the power of straight k plus 1 end exponent plus 3 end cell equals cell 5 to the power of straight k.5 to the power of 1 plus 3 end cell row blank equals cell left parenthesis 4 straight m minus 3 right parenthesis.5 plus 3 end cell row blank equals cell 20 straight m minus 15 plus 3 end cell row blank equals cell 20 straight m minus 12 end cell row blank equals cell 4 left parenthesis 5 straight m minus 3 right parenthesis rightwards arrow habis space di space bagi space 4 end cell row blank blank blank end table

Jadi terbukti bahwa 5 to the power of straight n plus 3 habis di bagi 4

 

 

3

Roboguru

Untuk setiap bilangan bulat positif n, buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. a.  habis dibagi 6

Pembahasan Soal:

Pembuktian pernyataan diatas menggunakan induksi matematika

Akan di buktikan untuk n = 1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses open parentheses straight n plus 2 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 open parentheses 2 close parentheses open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals cell 6 rightwards arrow Habis space dibagi space 6 end cell end table

Akan di buktikan untuk n = k dimana diasumsikan bahwa habis dibagi 6 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses open parentheses straight n plus 2 close parentheses end cell equals cell straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell straight k open parentheses straight k plus 1 close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses straight k squared plus straight k close parentheses open parentheses straight k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell straight k cubed plus 3 straight k squared plus 2 straight k not stretchy rightwards arrow Habis space dibagi space 6 end cell end table

Akan di buktikan untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses open parentheses straight n plus 2 close parentheses end cell equals cell left parenthesis straight k plus 1 right parenthesis open parentheses straight k plus 2 close parentheses open parentheses straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses straight k squared plus 2 k plus k plus 2 close parentheses open parentheses straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses straight k squared plus 3 k plus 2 close parentheses open parentheses straight k plus 3 close parentheses end cell row blank equals cell straight k cubed plus 3 straight k squared plus 3 straight k squared plus 9 straight k plus 2 straight k plus 6 end cell row blank equals cell open parentheses straight k cubed plus 3 straight k squared plus 2 straight k close parentheses plus open parentheses 3 straight k squared plus 9 straight k plus 6 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses straight k cubed plus 3 straight k squared plus 2 straight k close parentheses plus 3 left parenthesis straight k squared plus 3 straight k plus 2 right parenthesis not stretchy rightwards arrow Habis space dibagi space 6 end cell end table

Jadi terbukti bahwa straight n open parentheses straight n plus 1 close parentheses open parentheses straight n plus 2 close parentheses habis dibagi 6 dibuktikan dengan induksi matematika dimana table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses straight k cubed plus 3 straight k squared plus 2 straight k close parentheses end cell end table sudah diasumsikan benar dan table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 3 left parenthesis straight k squared plus 3 straight k plus 2 right parenthesis end cell end table dimana 3 merupakan angka habis dibagi 6.

0

Roboguru

Untuk setiap bilangan bulat positif , buktikan dengan prinsip induksi matematika setiap pernyataan berikut. b.  habis dibagi

Pembahasan Soal:

Langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk pernyataan P subscript n yang memenuhi dua kondisi berikut:

  1. P subscript 1 adalah benar (dibuktikan).
  2. Jika P subscript k dianggap benar untuk setiap bilangan asli k, maka P subscript k plus 1 end subscript harus dibuktikan juga benar.

Kesimpulan (1) dan (2) menunjukkan P subscript n benar untuk setiap bilangan n.

Akan dibuktikan bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, untuk setiap bilangan bulat positif begin mathsize 14px style n end style.

Dengan menggunakan langkah pembuktian tersebut diperoleh sebagai berikut.

Misalkan P subscript n equals open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared.

Langkah pertama:

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript n end cell equals cell open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row cell P subscript 1 end cell equals cell open curly brackets 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 1 open parentheses 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets 2 close curly brackets squared end cell row blank equals cell 4 space space open parentheses habis space dibagi space 4 close parentheses end cell end table

Diperoleh, P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar).

Langkah kedua:

Anggap P subscript k benar, yaitu

P subscript k equals open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared space space habis space dibagi space 4

Akan dibuktikan bahwa P subscript k plus 1 end subscript, berarti n equals k plus 1, yaitu P subscript k plus 1 end subscript equals open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

Perhatikan perhitungan berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell P subscript k plus 1 end subscript end cell equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 2 times open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets plus open curly brackets 2 open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared end cell row blank equals cell open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared plus 4 times k open parentheses k plus 1 close parentheses squared plus 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared end cell end table

Oleh karena open curly brackets k open parentheses k plus 1 close parentheses close curly brackets squared4 k open parentheses k plus 1 close parentheses squared, dan 4 open parentheses k plus 1 close parentheses squared, habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style, maka P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Diperoleh, langkah pertama P subscript 1 habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style (benar), dan langkah kedua P subscript k plus 1 end subscript habis dibagi 4 (benar).

Dengan demikian, terbukti bahwa begin mathsize 14px style open curly brackets n open parentheses n plus 1 close parentheses close curly brackets squared end style habis dibagi begin mathsize 14px style 4 end style.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika bahwa   habis dibagi .

Pembahasan Soal:

Untuk membuktikan 6 to the power of n plus 4 habis dibagi 10 maka untuk dapat dilakukan dengan menggunakan tiga langkah yaitu sebagai berikut.

Langkah pertama. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk n equals 1 maka 6 to the power of 1 plus 4 equals 10 habis dibagi 10 (benar)

Langkah kedua. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya k, pernyataan tersebut diasumsikan benar karena berlaku untuk bilangan 1.

Untuk n equals k maka 6 to the power of k plus 4 habis dibagi 10 (asumsikan benar).

Langkah ketiga. Buktikan untuk bilangan asli k plus 1 pernyataan tersebut juga benar.

Untuk n equals k plus 1 maka dapat dibuktikan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 6 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 end cell equals cell 6 to the power of k. space 6 plus 4 end cell row cell space space space space space space space space space space space space space space end cell equals cell 6 open parentheses 6 to the power of k plus 4 close parentheses minus 20 end cell end table   

Perhatikan open parentheses 6 to the power of k plus 4 close parentheses habis dibagi 10 sesuai dengan asumsi pada langkah kedua dan negative 20 juga habis dibagi 10. Maka, 6 to the power of k plus 1 end exponent plus 4 habis dibagi 10 terbukti.

Jadi, terbukti bahwa bold 6 to the power of bold n bold plus bold 4 habis dibagi 10.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved