Pertanyaan

Buktikan bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O ( 0 , 0 ) pada lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 adalah 2 π

Buktikan bahwa sudut antara dua garis singgung melalui $O (0, 0)$ pada lingkaran $(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ adalah $\frac{π}{2}$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O ( 0 , 0 ) pada lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 adalah 2 π .

terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung melalui

O (0, 0)

pada lingkaran

(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

adalah

\frac{π}{2}

Pembahasan

Ingat kembali: Persamaan garis singgung lingkaran ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 melalui garadien m adalah. y − b = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 Pada soal diketahui bahwa: ( x − 7 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 a = 7 , b = − 1 , r = 25 = 5 Akan ditentukanpersamaan garis singgung lingkarannya, y − b y + 1 = = m ( x − a ) ± r m 2 + 1 m ( x − 1 ) ± 5 m 2 + 1 Karena titik O ( 0 , 0 ) dilalui oleh garis singgung tersebut, maka: y + 1 0 + 1 1 1 + 7 m 5 1 + 7 m ( 5 1 + 7 m ) 2 25 49 m 2 + 14 m + 1 49 m 2 + 14 m + 1 49 m 2 + 14 m + 1 − 25 m 2 − 25 24 m 2 + 14 m − 24 12 m 2 + 7 m − 12 = = = = = = = = = = = m ( x − 7 ) ± 5 m 2 + 1 m ( 0 − 7 ) ± 5 m 2 + 1 − 7 m ± 5 m 2 + 1 ± 5 m 2 + 1 ± m 2 + 1 ( ± m 2 + 1 ) 2 m 2 + 1 25 m 2 + 25 0 0 0 dengan menggunakan rumus ABC, maka: m 1 , 2 m 1 m 2 = = = = = = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 ( 12 ) − 7 ± 7 2 − 4 ( 12 ) ( − 12 ) 24 − 7 ± 625 24 − 7 ± 25 24 − 32 24 18 Dengan menggunakan rumus sudut antara dua garis berportongan, maka diperoleh: tan α tan α tan α tan α tan α α α = = = = = = = = ∣ ∣ 1 + m 1 ⋅ m 2 m 1 − m 2 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + ( 24 − 32 ) ⋅ ( 24 18 ) 24 − 32 − 24 18 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 576 − 576 − 24 50 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 1 − 24 50 ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 24 50 ∣ ∣ tak terdefinisi 9 0 ∘ 2 π Dengan demikian,terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung melalui O ( 0 , 0 ) pada lingkaran ( x − 7 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 adalah 2 π .

Ingat kembali:

Persamaan garis singgung lingkaran $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ melalui garadien $m$ adalah.

$y - b = m (x - a) \pm r m^{2} + 1$

Pada soal diketahui bahwa:

$(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 25 a = 7, b = - 1, r = 25 = 5$

Akan ditentukan persamaan garis singgung lingkarannya,

$y - b y + 1 = = m (x - a) \pm r m^{2} + 1 m (x - 1) \pm 5 m^{2} + 1$

Karena titik $O (0, 0)$ dilalui oleh garis singgung tersebut, maka:

$y + 1 0 + 1 1 1 + 7 m \frac{1 + 7 m}{5} (\frac{1 + 7 m}{5})^{2} \frac{49 m ^{2} + 14 m + 1}{25} 49 m^{2} + 14 m + 1 49 m^{2} + 14 m + 1 - 25 m^{2} - 25 24 m^{2} + 14 m - 24 12 m^{2} + 7 m - 12 = = = = = = = = = = = m (x - 7) \pm 5 m^{2} + 1 m (0 - 7) \pm 5 m^{2} + 1 - 7 m \pm 5 m^{2} + 1 \pm 5 m^{2} + 1 \pm m^{2} + 1 (\pm m^{2} + 1)^{2} m^{2} + 1 25 m^{2} + 25 000$

dengan menggunakan rumus ABC, maka:

$m_{1, 2} m_{1} m_{2} = = = = = = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{- 7 \pm 7 ^{2} - 4 ( 12 ) ( - 12 )}{2 ( 12 )} \frac{- 7 \pm 625}{24} \frac{- 7 \pm 25}{24} \frac{- 32}{24} \frac{18}{24}$

Dengan menggunakan rumus sudut antara dua garis berportongan, maka diperoleh:

$tan α tan α tan α tan α tan α α α = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} \cdot m _{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{\frac{- 32}{24} - \frac{18}{24}}{1 + ( \frac{- 32}{24} ) \cdot ( \frac{18}{24} )} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{50}{24}}{1 + \frac{- 576}{576}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{50}{24}}{1 - 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- \frac{50}{24}}{0} ∣ ∣ tak terdefinisi 9 0^{\circ} \frac{π}{2}$

Dengan demikian,terbukti bahwa sudut antara dua garis singgung melalui $O (0, 0)$ pada lingkaran $(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ adalah $\frac{π}{2}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 yang tegak lurus dengan garis 4 x + 12 y + 25 = 0 adalah ....

3.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 9 tegak lurus garis 5 x + 12 y − 4 = 0 !

4.6

Jawaban terverifikasi

Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 16 yang sejajar garis 4 x − 2 y − 7 = 0 adalah . . . .

4.5

Jawaban terverifikasi

Sebuah lingkaran dengan titik pusat ( − 5 , − 1 ) mempunyai jari-jari 13 . Salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang memiliki gradien garis 3 2 adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan lingkaran ( x − 2 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 4 1 Tentukan persamaan garis singgung: b. yang membentuk sudut 4 3 π terhadap sumbu X positif,

5.0

Jawaban terverifikasi