Buktikan bahwa: b. 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ = tan θ + sec θ

Pembahasan

Untuk dapat membuktikan persamaan tersebut, salah satu caranya adalah dengan menunjukkan salah satu sisi persamaan dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk sisi lain persamaan. Pada kasus ini, akan ditunjukkan bahwa 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ dapat dimanipulasi sedemikian sehingga membentuk tan θ + sec θ . Ingat bahwa: Rumus tangen sudut rangkap: tan 2 x = 1 − tan 2 x 2 tan x ​ Rumus cosinus sudut rangkap: cos x = cos 2 x − sin 2 x Identitas trigonometri: 1 + tan 2 x tan x sec x ​ = = = ​ sec 2 x , c o s x s i n x ​ , dan c o s x 1 ​ ​ Dengan menggunakan rumus dan identitas trigonometri di atas, 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ dapat dimanipulasi sebagai berikut: 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ = 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ × 1 + tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ = 1 − tan 2 ( 2 θ ​ ) 1 + tan 2 ( 2 θ ​ ) + 2 tan ( 2 θ ​ ) ​ = 1 − tan 2 ( 2 θ ​ ) 2 tan ( 2 θ ​ ) ​ + 1 − tan 2 ( 2 θ ​ ) 1 + tan 2 ( 2 θ ​ ) ​ = tan 2 ​ ( 2 ​ θ ​ ) + 1 − tan 2 ( 2 θ ​ ) sec 2 ( 2 θ ​ ) ​ = tan θ + 1 − cos 2 ( 2 θ ​ ) sin 2 ( 2 θ ​ ) ​ cos 2 ( 2 θ ​ ) 1 ​ ​ = tan θ + cos 2 ( 2 θ ​ ) cos 2 ( 2 θ ​ ) ​ − cos 2 ( 2 θ ​ ) sin 2 ( 2 θ ​ ) ​ cos 2 ( 2 θ ​ ) 1 ​ ​ = tan θ + cos 2 ( 2 θ ​ ) ​ cos 2 ( 2 θ ​ ) − sin 2 ( 2 θ ​ ) ​ cos 2 ( 2 θ ​ ) ​ 1 ​ ​ = tan θ + cos 2 ( 2 θ ​ ) − sin 2 ( 2 θ ​ ) 1 ​ = tan θ + cos θ 1 ​ = tan θ + sec θ ( terbukti ) Dengan demikian, terbukti bahwa 1 − tan ( 2 θ ​ ) 1 + tan ( 2 θ ​ ) ​ = tan θ + sec θ .