Pertanyaan

x → 4 1 π lim ( csc x + 2 1 + tan x ) = ...

$x \to \frac{1}{4} π lim (\frac{1 + tan x}{csc x + 2}) = ...$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Seperti dalam limit fungsi aljabar, di dalam limit fungsi trigonometri, ada limit yang dapat ditentukan nilainya dengan mensubstitusi langsung nilaiyang didekati, dan ada yang menghasilkan bentuk tak tentu apabila nilaiyang didekati disubstitusi langsung. Dengan mensubtitusi nilai yang mendekati, maka didapatkan: Kemudian, dengan menggunakan identitas diperoleh: sehingga bentuk limit (1) dapat diselesaikan menjadi Berdasarkan uraian di atas, diperoleh . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Seperti dalam limit fungsi aljabar, di dalam limit fungsi trigonometri, ada limit yang dapat ditentukan nilainya dengan mensubstitusi langsung nilai yang didekati, dan ada yang menghasilkan bentuk tak tentu apabila nilai yang didekati disubstitusi langsung.

Dengan mensubtitusi nilai yang mendekati, maka didapatkan:

Kemudian, dengan menggunakan identitas $csc space x equals fraction numerator 1 over denominator sin space x end fraction$ diperoleh:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell csc space 45 degree end cell equals cell fraction numerator 1 over denominator sin space 45 degree end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 over denominator begin display style 1 half end style square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 over denominator square root of 2 end fraction cross times fraction numerator square root of 2 over denominator square root of 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell square root of 2 end cell end table$

sehingga bentuk limit (1) dapat diselesaikan menjadi

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of open parentheses fraction numerator 1 plus tan space x over denominator csc space x plus 2 end fraction close parentheses end cell equals cell fraction numerator 1 plus tan space 45 degree over denominator begin display style csc space 45 degree space plus 2 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 plus 1 over denominator square root of 2 plus 2 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 over denominator begin display style 2 plus square root of 2 end style end fraction cross times fraction numerator 2 minus square root of 2 over denominator begin display style 2 minus square root of 2 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 open parentheses square root of 2 minus 2 close parentheses over denominator 2 squared minus open parentheses square root of 2 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 open parentheses 2 minus square root of 2 close parentheses over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 2 minus square root of 2 end cell end table$

Berdasarkan uraian di atas, diperoleh $limit as x rightwards arrow 1 fourth straight pi of open parentheses fraction numerator 1 plus tan space x over denominator csc space x plus 2 end fraction close parentheses equals 2 minus square root of 2$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.