Roboguru

i=1∑n​(2i)=n(n+1)

Pertanyaan

sum from i equals 1 to n of open parentheses 2 i close parentheses equals n open parentheses n plus 1 close parentheses

Pembahasan Soal:

Tidak terdapat perintah dalam soal. Kita asumsikan bahwa perintahnya adalah membuktikan pernyataan pada soal. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikannya. Langkah-langkah pembuktian menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut:

  • tunjukkan pernyataan benar untuk n equals 1
  • asumsikan pernyataan benar untuk n equals k
  • tunjukkan pernyataan benar untuk n equals k plus 1

Notasi sum from i equals 1 to n of open parentheses 2 i close parentheses equals n open parentheses n plus 1 close parentheses dapat juga dituliskan 2 plus 4 plus 6 plus... plus 2 n equals n open parentheses n plus 1 close parentheses

  • untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses 1 close parentheses end cell equals cell 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses end cell row 2 equals 2 end table

terbukti benar untuk n equals 1

  • asumsikan n equals k benar

2 plus 4 plus 6 plus... plus 2 k equals k open parentheses k plus 1 close parentheses

  • untuk n equals k plus 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 plus 4 plus 6 plus... plus 2 k plus 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end cell row cell k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 2 open parentheses k plus 1 close parentheses end cell equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses end cell row cell k squared plus k plus 2 k plus 2 end cell equals cell open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row cell k squared plus 3 k plus 2 end cell equals cell k squared plus 3 k plus 2 end cell end table

terbukti benar untuk n equals k plus 1

Dengan demikian sum from i equals 1 to n of open parentheses 2 i close parentheses equals n open parentheses n plus 1 close parentheses terbukti benar.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

D. Rajib

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Terakhir diupdate 16 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

i=1∑n​(2i−1)=n2

Pembahasan Soal:

Tidak terdapat perintah dalam soal. Kita asumsikan bahwa perintahnya adalah membuktikan pernyataan pada soal. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikannya. Langkah-langkah pembuktian menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut:

  • tunjukkan pernyataan benar untuk n=1
  • asumsikan pernyataan benar untuk n=k
  • tunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1

Notasi i=1n(2i1)=n2 dapat juga dituliskan 1+3+5+...+(2n1)=n2

  • untuk n=1

2(1)11==121

terbukti benar untuk n=1

  • asumsikan n=k benar

1+3+5+...+(2k1)=k2

  • untuk n=k+1

1+3+5+...+(2k1)+(2(k+1)1)k2+(2(k+1)1)k2+(2k+21)k2+2k+1====(k+1)2(k+1)2k2+2k+1k2+2k+1

terbukti benar untuk n=k+1

Dengan demikian i=1n(2i1)=n2 terbukti benar.

0

Roboguru

Buktikan ∑i=1n​(3i−2)=2n(3n)−1​ untuk setiap bilangan asli n!

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah Prinsip Induksi Matematika:

1. Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

 i=1n(3i2)1+4+7+...+(3n2)==2n(3n)12n(3n)1

Pembuktiannya sebagai berikut:

1.Buktikan untuk n = 1 adalah benar.

3(1)211===21(3(1))1221

Langkah pertama terbukti ya, karena ruas kiri dan kanannya sama

2. Asumsikan pernyataan benar untuk sembarang bilangan asli n = k.

1 plus 4 plus 7 plus... plus open parentheses 3 k minus 2 close parentheses equals fraction numerator k open parentheses 3 k close parentheses minus 1 over denominator 2 end fraction

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah yang ketiga.

3. Buktikan untuk bilangan asli n = k + 1 pernyataan tersebut juga benar.

1+4+7+...+(3k2)+(3(k+1)2)2k(3k)1+(3(k+1)2)23k21+26(k+1)423k21+6k+6423(k2+2k+1)223(k+1)22======2(k+1)(3(k+1))123(k+1)2123(k+1)2123(k+1)2123(k+1)2123(k+1)21

Karena ruas kiri dan kanannya tidak sama, berarti pernyataan n=k+1 bernilai salah.

Jadi  begin inline style sum from i equals 1 to n of end style open parentheses 3 i minus 2 close parentheses equals fraction numerator n open parentheses 3 n close parentheses minus 1 over denominator 2 end fraction bernilai salah.

0

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. 1+3+6+10+⋯+21​n(n+1)=61​n(n+1)(n+2)

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa

1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half n open parentheses n plus 1 close parentheses equals 1 over 6 n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals 1

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 half times 1 times open parentheses 1 plus 1 close parentheses end cell equals cell 1 over 6 times 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 1 plus 2 close parentheses end cell row cell 1 half times 2 end cell equals cell 1 over 6 times 2 times 3 end cell row 1 equals 1 end table

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

Asumsikan P open parentheses k close parentheses benar sehingga diperoleh

1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half k open parentheses k plus 1 close parentheses equals 1 over 6 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses

Akan ditunjukkan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, sedemikian sehingga 

1+3+6+10++21k(k+1)+21(k+1)(k+2)=61(k+1)(k+2)(k+3) 

Bukti:

Ruas kanan

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell 1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half k open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 half open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 over 6 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus 1 half open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 over 6 k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses plus 3 over 6 left parenthesis k plus 1 right parenthesis left parenthesis k plus 2 right parenthesis end cell row blank equals cell 1 over 6 open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses k plus 3 close parentheses end cell end table

Ruas kiri

61(k+1)(k+2)(k+3) 

 

Karena ruas sebelah kanan=ruas sebelah kiri maka terbukti bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses benar .

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa

1 plus 3 plus 6 plus 10 plus horizontal ellipsis plus 1 half n open parentheses n plus 1 close parentheses equals 1 over 6 n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses n plus 2 close parentheses

1

Roboguru

Buktikan dengan induksi matematika. i=1∑n​i2=6n(n+1)(2n+1)​ berlaku untuk semua bilangan asli n.

Pembahasan Soal:

Prinsip Induksi Matematika:

Misalkan P open parentheses n close parentheses merupakan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli n. Pernyataan P open parentheses n close parentheses benar jika memenuhi langkah berikut.

1. Langkah awal: Dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

2. Langkah induksi: Jika diasumsikan P open parentheses k close parentheses benar, maka harus dibuktikan bahwa P open parentheses k plus 1 close parentheses juga benar, untuk setiap k bilangan asli.

Jika langkah 1 dan 2 sudah diuji kebenarannya, maka ditarik kesimpulan bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk setiap bilangan asli n.

Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa:

sum from i equals 1 to n of i squared equals fraction numerator n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses 2 n plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction

Langkah awal:

Akan dibuktikan P open parentheses 1 close parentheses benar.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 squared end cell equals cell fraction numerator 1 open parentheses 1 plus 1 close parentheses open parentheses 2 times 1 plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction end cell row 1 equals cell fraction numerator 1 times 2 times 3 over denominator 6 end fraction end cell row 1 equals 1 end table

Jadi, P open parentheses 1 close parentheses benar.

Langkah induksi:

P open parentheses n close parentheses diasumsikan benar untuk n equals k sehingga 

P open parentheses k close parentheses colon space sum from i equals 1 to k of i squared equals fraction numerator k open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses 2 k plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction

Akan ditunjukkan bahwa untuk n equals k plus 1 juga benar, sedemikian sehingga 

P open parentheses k plus 1 close parentheses colon space sum from i equals 1 to k plus 1 of i squared equals fraction numerator open parentheses k plus 1 close parentheses open parentheses k plus 2 close parentheses open parentheses 2 open parentheses k plus 1 close parentheses plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction

Bukti:

i=1k+1i2i=1ki2+i=k+1k+1i26k(k+1)(2k+1)+(k+1)26k(k+1)(2k+1)+66(k+1)26(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6(k+1)[2k2+k+6k+6]6(k+1)[2k2+7k+6]6(k+1)(k+2)(2k+3)========6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3)6(k+1)(k+2)(2k+3) 

Jadi, terbukti bahwa P open parentheses n close parentheses benar untuk n equals k plus 1.

Pernyataan P open parentheses n close parentheses memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Dengan demikian, terbukti bahwa sum from i equals 1 to n of i squared equals fraction numerator n open parentheses n plus 1 close parentheses open parentheses 2 n plus 1 close parentheses over denominator 6 end fraction berlaku untuk semua bilangan asli n

1

Roboguru

Buktikan kebenaran setiap deret berikut.  c. 21​−41​−81​−...−2n1​=2n1​

Pembahasan Soal:

Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika

Untuk n = 1 maka

1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of 1 equals 1 over 2 to the power of 1 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 half equals 1 half rightwards arrow Terbukti space

Untuk n = k diasumsikan terbukti maka

1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of k equals 1 over 2 to the power of k rightwards arrow Terbukti space

Untuk n = k+1 maka

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight n end cell row cell 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight k plus 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 1 over 2 to the power of straight k minus 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell fraction numerator 2 to the power of 1 minus 1 over denominator 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end fraction end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell row cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent end cell equals cell 1 over 2 to the power of straight k plus 1 end exponent rightwards arrow Terbukti space end cell end table

Jadi terbukti 1 half minus 1 fourth minus 1 over 8 minus... negative 1 over 2 to the power of straight n equals 1 over 2 to the power of straight n karena hasil sisi kanan dan kiri sama

 

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved