Roboguru

5. Jika sinx=31​, maka sin3x=....

Pertanyaan

5. Jika sinx=31, maka sin3x=....space 

  1. 2311 

  2. 1123  

  3. 2713  

  4. 2719  

  5. 2723 

Pembahasan Soal:

Ingat kembali rumus penjumlahan dua sudut:

  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  • sin2α=2sinαcosα
  • cos2α=cos2αsin2α

dan identitas trigonometri cos2α=1sin2α sehingga dapat diperoleh rumus berikut:

sin3αsin3α=========sin(2α+α)sin2αcosα+cos2αsinα(2sinαcosα)cosα+(cos2αsin2α)sinα2sinαcos2α+sinαcos2αsin3α3sinαcos2αsin3α3sinα(1sin2α)sin3α3sinα13sinαsin2αsin3α3sinα3sin3αsin3α3sinα4sin3α

Oleh karena sinx=31, maka dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh:

 sin3x=========3sinx4sin3x3(31)4(31)3313114331311142711112741112741×271×2727427272742723

Dengan demikian, sin3x=2723.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E. 

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

I. Ridha

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 30 Agustus 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

4. Buktikan bahwa: sin3θ⋅sin3θ+cos3θ⋅cos3θ=cos32θ

Pembahasan Soal:

Ingat kembali:

  • rumus sinus untuk penjumlahan dua sudut: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  • rumus cosinus untuk penjumlahan dua sudut: cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
  • rumus sinus untuk sudut ganda: sin2α=2sinαcosα
  • rumus cosinus untuk sudut ganda: cos2α=cos2αsin2α
  • identitas trigonometri: sin2α+cos2α=1cos2α=1sin2α, dan sin2α=1cos2α
  • rumus pemfaktoran pangkat tiga: a2b2=(ab)(a+b) dan a3b3=(ab)(a2+b2+ab)

Oleh karena itu, dapat diperoleh rumus berikut:

sin3αsin3α=========sin(2α+α)sin2αcosα+cos2αsinα(2sinαcosα)cosα+(cos2αsin2α)sinα2sinαcos2α+sinαcos2αsin3α3sinαcos2αsin3α3sinα(1sin2α)sin3α3sinα13sinαsin2αsin3α3sinα3sin3αsin3α3sinα4sin3α

dan

cos3αcos3α==========cos(2α+α)cos2αcosαsin2αsinα(2cos2α1)cosα(2sinαcosα)sinα2cos3αcosα2sin2αcosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα2(1cos2α)cosα2cos3αcosα21cosα+2cos2αcosα2cos3αcosα2cosα+2cos3α2cos3α+2cos3αcosα2cosα4cos3α3cosα 

sehingga

 ===============sin3θsin3θ+cos3θcos3θ(3sinθ4sin3θ)sin3θ+(4cos3θ3cosθ)cos3θ3sin4θ4sin6θ+4cos6θ3cos4θ4cos6θ4sin6θ3cos4θ+3sin4θ4(cos6θsin6θ)3(cos4θsin4θ)4((cos2θ)3(sin2θ)3)3((cos2θ)2(sin2θ)2)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)4(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)14(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)24(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+cos2θsin2θ)3(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ+2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(4cos4θ+4sin4θ+4cos2θsin2θ)+(cos2θsin2θ)(3cos4θ3sin4θ6cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos4θ+sin4θ2cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)(cos2θsin2θ)2(cos2θsin2θ)3(cos2θ)3cos32θ

Dengan demikian, terbukti bahwa sin3θsin3θ+cos3θcos3θ=cos32θ. 

0

Roboguru

a. Buktikanlah: . (Petunjuk: ) b. Gunakan jawaban (a) untuk menghitung:  (i)   (ii)

Pembahasan Soal:

Diasumsikan bahwa soal tersebut

a. membuktikan sin space 5 x equals 16 space sin to the power of 5 x minus 20 space sin cubed x plus 5 space sin space x.
b. (i) Nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 18 degree minus 20 space sin cubed space 18 degree plus 5 space sin space 18 degree
    (ii) Nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 6 degree minus 20 space sin cubed space 6 degree plus 5 space sin space 6 degree.

Ingat bahwa:

  • sin left parenthesis straight A plus straight B right parenthesis equals sin space straight A space cos space straight B plus cos space straight A space sin space straight B 
  • cos squared space straight A equals 1 minus sin squared space straight A 
  • sin space 2 straight A equals 2 space sin space straight A space cos space straight A 
  • cos space 2 straight A equals cos squared space straight A minus sin squared space straight A 

a. Membuktikan sin space 5 x equals 16 space sin to the power of 5 x minus 20 space sin cubed x plus 5 space sin space x:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space 5 x end cell equals cell sin left parenthesis 3 x plus 2 x right parenthesis end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell left parenthesis sin space 2 x space cos space x plus cos space 2 x space sin space x right parenthesis cos space 2 x end cell row blank blank cell plus left parenthesis cos space 2 x space cos space x – sin space 2 x space sin space x right parenthesis space sin space 2 x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell sin space 2 x space cos space 2 x space cos space x plus cos squared space 2 x space sin space x end cell row blank blank cell plus left parenthesis sin space 2 x space cos space 2 x space cos space x – sin squared space 2 x space sin space x right parenthesis end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 2 sin space 2 x space cos space 2 x space cos space x end cell row blank blank cell plus cos squared space 2 x space sin space x – space sin squared space 2 x space sin space x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 2 left parenthesis 2 sin space x space cos space x right parenthesis left parenthesis cos squared x – sin squared x right parenthesis cos space x end cell row blank blank cell plus left parenthesis cos squared x – sin squared x right parenthesis squared sin space x – left parenthesis 2 sin space x space cos space x right parenthesis squared sin space x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 4 left parenthesis sin space x space cos squared space x right parenthesis left parenthesis left square bracket 1 – sin squared x right square bracket space – sin squared x right parenthesis end cell row blank blank cell plus left parenthesis left square bracket 1 – sin squared x right square bracket – sin squared x right parenthesis squared sin space x – left parenthesis 4 sin squared space x space cos squared space x right parenthesis sin space x space end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 4 left parenthesis sin space x space left square bracket 1 – sin squared x right square bracket right parenthesis left parenthesis 1 – 2 sin squared x right parenthesis plus left parenthesis 1 – 2 sin squared x right parenthesis squared sin space x space – 4 sin cubed space x space left square bracket 1 – sin squared x right square bracket end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 4 sin space x left parenthesis 1 – sin squared x right parenthesis left parenthesis 1 – 2 sin squared x right parenthesis plus left parenthesis 1 – 4 sin squared x plus 4 sin to the power of 4 x right parenthesis sin space x end cell row blank blank cell – 4 sin cubed space x plus 4 sin to the power of 5 x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell left parenthesis 4 sin space x – 4 sin cubed x right parenthesis left parenthesis space 1 – 2 sin squared x right parenthesis plus sin space x – 4 sin cubed x end cell row blank blank cell plus 4 sin to the power of 5 x – 4 sin cubed space x space plus 4 sin to the power of 5 x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 4 sin space x – 8 sin cubed x – 4 sin cubed x plus 8 sin to the power of 5 x end cell row blank blank cell plus sin space x – 8 sin cubed x plus 8 sin to the power of 5 x end cell row cell sin space 5 x end cell equals cell 5 sin space x minus 20 sin cubed x plus 16 sin to the power of 5 x end cell end table   

Jadi, Terbukti bahwa sin space 5 x equals 16 space sin to the power of 5 x minus 20 space sin cubed x plus 5 space sin space x.

b. (i) Mencari nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 18 degree minus 20 space sin cubed space 18 degree plus 5 space sin space 18 degree 

Ingat bahwa sin space 5 x equals 16 space sin to the power of 5 x minus 20 space sin cubed x plus 5 space sin space x, sehingga:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 16 space sin to the power of 5 space 18 degree minus 20 space sin cubed space 18 degree plus 5 space sin space 18 degree end cell equals cell sin space left parenthesis 5 times 18 degree right parenthesis end cell row blank equals cell sin space left parenthesis 90 degree right parenthesis end cell row blank equals 1 end table 

Jadi, Nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 18 degree minus 20 space sin cubed space 18 degree plus 5 space sin space 18 degree adalah 1.

(ii) Mencari nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 6 degree minus 20 space sin cubed space 6 degree plus 5 space sin space 6 degree:

Ingat bahwa sin space 5 x equals 16 space sin to the power of 5 x minus 20 space sin cubed x plus 5 space sin space x, sehingga:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 16 space sin to the power of 5 space 6 degree minus 20 space sin cubed space 6 degree plus 5 space sin space 6 degree end cell equals cell sin space left parenthesis 5 times 6 degree right parenthesis end cell row blank equals cell sin space left parenthesis 30 degree right parenthesis end cell row blank equals cell 1 half end cell end table  

Jadi, Nilai dari 16 space sin to the power of 5 space 6 degree minus 20 space sin cubed space 6 degree plus 5 space sin space 6 degree adalah 1 half.

0

Roboguru

Nilai 2sin105∘cos3105∘−2sin3105∘cos105∘ adalah ....

Pembahasan Soal:

Ingat sifat trigonometri berikut.

sin2αcos2αsin(α+β)cos(α+β)====2sinαcosαcos2αsin2αsinαcosβ+sinβcosαcosαcosβsinαsinβ

Misal: p=2sin105cos31052sin3105cos105, maka diperoleh:

p=======2sin105cos31052sin3105cos1052sin105cos105cos21052sin105cos105sin2105sin2(105)cos2105sin2(105)sin2105sin210cos2105sin210sin2105sin210(cos2105sin2105)sin210(cos2(105))sin210cos210 

Selanjutnya dapat ditentukan nilai dari sin210dancos210 sebagai berikut.

sin210cos210========sin(180+30)sin180cos30+sin30cos1800213+21(1)21cos(180+30)cos180cos30sin180sin30(1)2130(21)213 

Sehingga diperoleh nilai p sebagai berikut.

p===sin210cos21021(213)413  

Jadi, jawaban yang benar adalah C.

3

Roboguru

Buktikan setiap identitas berikut. sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C​=8sin(2A​)sin(2B​)sin(2C​)

Pembahasan Soal:

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dua sudut yaitu

Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri

sinA+sinBcosA+cosB==2cos21(A+B)cos21(AB)2cos21(A+B)cos21(AB)

Sudut berelasi

sin(90α)=cosα

sin(180α)=sinα

sin(360α)=sinα

cos(α)=cosα

Sudut rangkap pada sinus 

sin2AsinA==2sinAcosA2sin21Acos21A

Sudut rangkap pada cosinus

cos2A1cos2A==12sin2A2sin2A

Pada segitiga ABC, maka berlaku

A+B+CCcos2Csin2Csin2CsinC===========180180(A+B)cos(2180(A+B))cos(902(A+B))sin(2A+B)sin2(180(A+B))sin(3602(A+B))sin2(A+B)sin(2180(A+B))sin(902(A+B))cos(2A+B)

Pertama akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari Sin2A+sin2B+sin2C

sin2A+sin2B+sin2C===========sin2A+sin2Bsin2(A+B)sin2A+sin2Bsin(2A+2B)sin2A+sin2B(sin2Acos2B+cos2Asin2B)sin2Asin2Acos2B+sin2Bcos2Asin2Bsin2A(1cos2B)+sin2B(1cos2A)2sinAcosA2sin2B+2sinBcosB2sin2A4sinAsinB[cosAsinB+cosBsinA]4sinAsinB[sinAcosB+cosAsinB]4sinAsinB[sin(A+B)]4sinAsinBsin(180C)4sinAsinBsinC

Kemudian akan dicari hasil dari sinA+sinB+sinC

sinA+sinB+sinC=======(sinA+sinB)+sinC2sin(2A+B)cos(2AB)+2sin2Ccos2C2cos2C(cos(2AB)+sin2C)2cos2C(cos(2AB)+cos(2A+B))2cos2C(2cos21(2AB+A+B)cos21(2ABAB))2cos2C(2cos(42A)cos(42B))4cos2Acos2Bcos2C

Maka

sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C===4cos2Acos2Bcos2C4sinAsinBsinC4cos2Acos2Bcos2C42sin2Acos2A2sin2Bcos2B2sin2Ccos2C8sin(2A)sin(2B)sin(2C)(terbukti) 

Dengan demikian terbukti bahwa sinA+sinB+sinCsin2A+sin2B+sin2C=8sin(2A)sin(2B)sin(2C)

 

0

Roboguru

Jika diketahui untuk A dan B pada kuadran yang sama, nilai dari

Pembahasan Soal:

Diketahui sin space straight A equals 3 over 5 equals depan over miring space dan space cos space straight B equals negative 3 over 5 equals samping over miring, dengan segitiga siku-siku bantu :

Karena A dan B adalah sudut pada kuadran yang sama dan nilai sin bernilai positif sedangkan cos pernilai negatif, maka A dan B adalah sudut di kuadran dua.

Selanjutnya ingat rumus trigonometri berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses straight A plus straight B close parentheses end cell equals cell sin space straight A space cos space straight B plus cos space straight A space sin space straight B end cell row cell sin space 2 straight A end cell equals cell 2 space sin space straight A space cos space straight A end cell row cell cos space 2 straight A end cell equals cell 2 space cos squared space straight A space minus 1 end cell end table

Berdasarkan rumus di atas, maka :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space left parenthesis 2 straight A plus straight B right parenthesis end cell equals cell sin space 2 straight A space cos space straight B plus cos space 2 straight A space sin space straight B end cell row blank equals cell 2 space sin space straight A space cos space straight B space cos space straight B plus open parentheses 2 space cos squared space straight A minus 1 close parentheses sin space straight B end cell row blank equals cell 2 open parentheses 3 over 5 close parentheses open parentheses negative 3 over 5 close parentheses squared plus open parentheses 2 open parentheses negative 4 over 5 close parentheses squared minus 1 close parentheses 4 over 5 end cell row blank equals cell 54 over 125 plus 28 over 125 end cell row blank equals cell 82 over 125 end cell end table

Jadi, tidak ada jawaban yang sesuai pada pilihan jawaban.

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved