Titik maksimum dari fungsi f(x) = sin x/ 2 + cos x pada interval 0 ≤ x ≤ 2π adalah...

Jawaban: (120°, 1/3√3) Halo Alana S, kakak bantu jawab ya :) Syarat titik maksimum adalah f"(x) < 0 Jika y = u/v, maka y' = (u'v-v'u)/v² Ingat rumus: cos²x + sin²x = 1 f(x) = sin x/ 2 + cos x misal: u = sin x u' = cos x v = 2+cos x v' = - sin x f'(x) = (cos x(2 + cos x) - (-sin x (sin x))/(2+cos x)² f'(x) = (2 cos x + cos²x + sin²x)/(2+cos x)² f'(x) = (2 cos x + 1)/(2+cos x)² Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat f'(x) = 0 (2 cos x + 1)/(2+cos x)² = 0 2 cos x + 1 = 0 cos x = -1/2 cos x = cos 120° 1) x = 120° + k ⋅360° Jika k = 0, maka x = 120° + 0 ⋅360° = 120° Jika k = 1, maka x = 120° + 1 ⋅360° = 480° 2) x = -120° + k ⋅360° Jika k = 0, maka x = -120° + 0 ⋅360° = -120° Jika k = 1, maka x = -120° + 1 ⋅360° = 240° Jika k = 2, maka x = -120° + 2 ⋅360° = 600° Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi awal f(x) = sin x/ 2 + cos x. Untuk x = 120°, maka f(120°) = sin 120°/ 2 + cos 120° = (1/2√3 / 2 + (-1/2)) = 1/3√3 --> (120°, 1/3√3) Untuk x = 240°, maka f(240°) = sin 240°/ 2 + cos 240° = (-1/2√3 / 2 + (-1/2)) = -1/3√3 --> (240°, -1/3√3) Selanjutnya untuk menentukan titik minimum, digunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut. f'(x) = (2 cos x + 1)/(2+cos x)² u = 2 cos x + 1 u' = -2 sin x v = (2+cos x)² v' = -2 cos x sin x - 4 sin x f"(x) = ((-2 sin x)(2+cos x)²- ((-2 cos x sin x - 4 sin x)(2 cos x + 1))/((2+cos x)²)² Untuk x = 120°, maka f"(120°) = ((-2 sin 120°)(2+cos 120°)²- ((-2 cos 120° sin 120° - 4 sin 120°)(2 cos 120° + 1))/((2+cos 120°)²)² f"(120°) = ((-√3)(3/2)²-(1(1/2√3) - 2√3) (-1+1)/(3/2)^4 f"(120°) = (-9/4√3-1/2√3) - 2√3) (0)/(81/16) f"(120°) = (-9/4√3-1/2√3)-0)/(81/16)= -11/4 √3 (16/81) = (-4√3/9) (negatif) Untuk x = 240°, maka f"(240°) = ((-2 sin 240°)(2+cos 240°)²- ((-2 cos 240° sin 240°- 4 sin 240°)(2 cos 240° + 1))/((2+cos 240°)²)² f"(240°) = ((√3)(3/2)²-(-1(1/2√3) + 2√3) (-1+1)/(3/2)^4 f"(240°) = (9/4√3+1/2√3) + 2√3) (0)/(81/16) f"(240°) = 11/4 √3 (16/81) = 4√3/9 (positif) Titik maksimum dipilih yang tandanya negatif. Jadi, titik maksimumnya adalah (120°, 1/3√3).