Hitunglah luas terbesar dari persegi panjang yang termuat dalam setengah lingkaran yang berjari-jari r (lihat gambar di bawah)

Jawaban yang benar adalah r² Salah satu aplikasi turunan adalah untuk mencari nilai maksimal/minimal fungsi. Nilai maksimum/minimum fungsi y = f(x) adalah ketika f'(x) = 0 Ingat aturan turunan berikut ini: f(x) = ax^n → f'(x) = n·a·x^(n-1) f(x) = kx → f'(x) = k f(x) = c → f'(x) = 0 Fungsi komposisi bentuk akar : f(x) = √(u(x)) → f'(x) = u'(x)/(2√(u(x)) Pembahasan : Perhatikan gambar di atas : Karena jarak titik O ke titik (x, y) adalah r maka : x² + y² = r² y² = r² – x² y = ±√(r² – x²) Karena panjang y positif, maka : y = √(r² – x²) Luas persegi panjang di atas yaitu : L = 2xy = 2x√(r² – x²) = √(2x)² · √(r² – x²) = √(4x²) · √(r² – x²) = √(4x²(r² – x²)) = √(4x²r² – 4x⁴) Misalkan : u(x) = 4x²r² – 4x⁴ u'(x) = 2·4xr² - 4·4x³ = 8xr² - 16x³ L' = u'(x)/(2√(u(x)) = (8xr² – 16x³)/(2√(4x²r² – 4x⁴)) Untuk mencapai luas maksimum maka : L' = 0 (8xr² – 16x³)/(2√(4x²r² – 4x⁴)) 8xr² – 16x³ = 0 8xr² = 16x³ (dibagi 8x) r² = 2x² 2x² = r² x² = r²/2 Sehingga : L = √(4x²r² – 4x⁴) = √(4·(r²/2)·r² – 4·(x²)²) = √(2r⁴ – 4 (r²/2)²) = √(2r⁴ – 4 · r⁴/4) = √(2r⁴ – r⁴) = √(r⁴) = r² Jadi luas terbesar dari persegi panjang tersebut adalah r²