diketahui vektor u = (a,1,-a) dan vektor v = (1,a,a). jika vektor u1 merupakan proyeksi u pada v, vektor v1 merupakan proyeksi v pada u, dan q sudut antara u dan v dengan cos q= 1/3. maka tentukan luas jajar genjang yang dibentuk u1 dan v1

Hallo Eka, kakak akan bantu jawab ya :) Jawaban: 2√2/9 atau 2√182/225 Ingat bahwa! u̅=(a1,a2j,a3) v̅=(b1,b2,b3) Panjang vektor |u̅|=√((a1)²+(a2)²+(a3)²) u̅·v̅=a1b1+a2b2+a3b3 Rumus panjnag proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ |c̅|=u̅·v̅ /|v̅ | Rumus Proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ |c̅|=(u̅·v̅ /|v̅ ²)| v̅ sudut antara dua vektor Rumus sudut antara 2 vektor cos α=u̅·v̅/|u̅||v̅| Definisi cos cos α=x/r Definisi sin sinα=y/r Teorema phytagoras r²=x²+y² Dengan r adalah panjang sisi miring x dan y adalah sisi-sisi yang saling tegak lurus Luas segitiga L=½×a×b×sin α Dengan α adalah sudut yang mengapit sisi a dan b Dengan a adalah alas jajar genjang dan t adalah tinggi jajar genjang Dari soal diketahui u̅=(a,1,-a) v̅= (1,a,a) cos q= 1/3 Nilai a dapat ditentukan dengan cara berikut u̅·v̅ =|u̅|·|v̅| cos q (a,1,-a)·(1,a,a)=√((a)²+(1)²+(-a)²)√((1)²+(a)²+(a)²)1/3 a+a-a²=√(2a²+1) ·√(2a²+1)·1/3 2a-a²=(2a²+1)·1/3 3(2a-a²)=(2a²+1) 6a-3a²=2a²+1 2a²+3a²-6a+1=0 5a²-6a+1=0 (5a-1)(a-1)=0 a=1/5 atau a=1 Untuk a=1 maka u̅=(1,1,-1) v̅= (1,1,1) |v̅|=√(1²+1²+1²) |v̅|=√3 |u̅|=√(1²+1²+(-1)²) |u̅|=√(1²+1²+1) |u̅|=√3 Proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ u̅1=(u̅·v̅ /|v̅ |²)v̅ u̅1= ((1,1,-1)·(1,1,1)/(√3)²) (1,1,1) u̅1=((1+1-1)/3) (1,1,1) u̅1=(⅓,⅓,⅓) Panjang proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ |u̅1|=u̅·v̅ /|v̅ | |u̅1|= (1,1,-1)·(1,1,1)/√3 |u̅1|=1+1-1/√3 |u̅1|=1/√3 Proyeksi vektor orthogonal v̅ pada vektor u̅ v̅1=(u̅·v̅ /|u̅|²) |u̅| v̅1=((1,1,-1)·(1,1,1)/(√3)²) (1,1,-1) v̅1=((1+1-1)/3)(1,1,-1) v̅1=(⅓,⅓,-⅓) Panjang proyeksi vektor v̅ pada vektor u̅ |v̅1|=u̅·v̅ /|u̅ | |v̅1|=(1,1,-1)· (1,1,1)/√3 |v̅1|=1+1-1/√3 |v̅1|=1/√3 Sudut antara U1 dan V1 cos α=u̅1·v̅1/|u̅1||v̅1| cos α=(⅓,⅓,⅓)·(⅓,⅓,-⅓)/1/√3 ·1/√3 cos α=(1/9+1/9-1/9)/(⅓) cos α=1/9·3 cos α=1/3 x/r=1/3⇒x=1 dan r=3 y²=r²-x² y²=3²-1² y²=9-1 y=√8 y=2√2 sin α=y/r sin α=2√2/3 Luas yang dibentuk oleh u̅1 dan v̅1 L=2×Luas segitiga L=2×½×|u̅1|×|v̅1|× sin α L=2×½×(1/√3) ×(1/√3)× (2√2/3) L= 2√2/9 Untuk a=1/5 maka u̅=(1/5,1,-1/5) v̅= (1,1/5,1/5) |u̅|=√((1/5)²+(1)²+(-1/5)²) |u̅|=√((1/25)+1+(1/25)) |u̅|=√(27/25) |u̅|=3√3/5 |v̅|=√((1)²+(1/5)²+(1/5)²) |v̅|=√(1+(1/25)+(1/25)) |v̅|=√(27/25) |v̅|=3√3/5 Proyeksi vektor orthogonal v̅ pada vektor u̅ v̅1=(u̅·v̅ /|u̅|²) |u̅| v̅1=((1/5,1,-1/5)·(1,1/5,1/5)/(3√3/5)²) (1/5,1,-1/5) v̅1=((1/5+1/5-1/25)/(27/25)) (1/5,1,-1/5) v̅1=1/3 (1/5,1,-1/5) v̅1=(1/15, 1/3,-1/15) Panjang proyeksi vektor orthogonal v̅ pada vektor u̅ |v̅1|=u̅·v̅ /|u̅ | |v̅1|= (1/5,1,-1/5)·(1,1/5,1/5)/3√3/5 |v̅1|=(1/5+1/5-1/25)/(3√3/5) |v̅1|=(9/25)×(5/3√3) |v̅1|=3√3/15 Proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ u̅1=(u̅·v̅ /|v̅ |²)v̅ u̅1= ((1/5,1,-1/5)·(1,1/5,1/5)/(3√3/5)²) ·(1,1/5,1/5) u̅1= ((1/5+1/5-1/25)/(27/25))·(1,1/5,1/5) u̅1=1/3·(1,1/5,1/5) u̅1=(⅓,1/15,1/15) Panjang proyeksi vektor orthogonal u̅ pada vektor v̅ |u̅1|=u̅·v̅ /|v̅ | |u̅1|= (1/5,1,-1/5)·(1,1/5,1/5)/(3√3/5) |u̅1|=(1/5+1/5-1/25)/(3√3/5) |u̅1|=3√3/15 Sudut antara U1 dan V1 cos α=u̅1·v̅1/|u̅1||v̅1| cos α=(1/3,1/15,1/15)·(1/15, 1/3,-1/15)/(3√3/5)(3√3/5) cos α=(1/45 +1/45 -1/225)/27/25 cos α= 9/225·25/27 cos α=1/27 x/r=1/27⇒x=1 dan r=27 y²=r²-x² y²=27²-1² y²=729-1 y=√728 y=2√182 sin α=y/r sin α=2√182/27 Luas yang dibentuk oleh u̅1 dan v̅1 L=2×Luas segitiga L=2×|u̅1|×|v̅1|× sin α L=2×½×(3√3/15) ×(3√3/15)× (2√182/27) L= 2√182/225 Jadi, luas jajar genjang tersebut 2√2/9 atau 2√182/225 Semoga terbantu :)